代数幾何学 · 2026-10-02
An elliptic Calabi-Yau threefold of Mordell-Weil rank twelve
Mordell–Weil階数12の楕円Calabi–Yau三次元多様体 Dominik Burek dominik-burek-1soh68t calabi-yau-geometry Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何arXiv Abstract
We construct a smooth projective Calabi--Yau threefold with a flat elliptic fibration of Mordell--Weil rank twelve and Hodge numbers $(h^{1,1},h^{2,1})=(25,1)$. The construction starts from the Kummer surfaces associated with the products of a fixed elliptic curve and the level-four modular family. The threefold is birational to an anticanonical quartic in $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3)^{\oplus2}\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(4)\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$. We give twelve independent sections and construct a projective crepant resolution of the associated Weierstrass model.
日本語要約
flat elliptic fibrationをもつ滑らかな射影Calabi–Yau三次元多様体で、Mordell–Weil階数が12、Hodge数が$(25,1)$となる例を構成する。固定楕円曲線とlevel-four modular familyの積に付随するKummer曲面から出発し、反標準quarticとの双有理表示を得る。12本の独立なsectionとWeierstrass modelの射影的crepant resolutionを与える。
We construct a smooth projective Calabi--Yau threefold with a flat elliptic fibration of Mordell--Weil rank twelve and Hodge numbers $(h^{1,1},h^{2,1})=(25,1)$. The construction starts from the Kummer surfaces associated with the products of a fixed elliptic curve and the level-four modular family. The threefold is birational to an anticanonical quartic in $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3)^{\oplus2}\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(4)\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$. We give twelve independent sections and construct a projective crepant resolution of the associated Weierstrass model.
Mordell–Weil階数12をもつflat elliptic fibrationを備えた滑らかな射影Calabi–Yau三次元多様体を構成する。Hodge数は$(25,1)$であり、Weierstrass modelの射影的crepant resolutionと12本の独立なsectionを明示する。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2610.01276
- 著者: Dominik Burek
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年10月01日
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
要約
楕円Calabi–Yau三次元多様体ではMordell–Weil群がfibrationのsectionを測り、その高階数例の明示構成は算術と双有理幾何の双方に関わる。本論文は階数12の具体例を与える。
構成は固定楕円曲線とlevel-four modular familyの積のKummer曲面族から始まる。得られる三次元多様体を射影束内の反標準quarticと双有理に表示し、特異なWeierstrass modelに射影的crepant resolutionを施す。
背景と問題設定
楕円fibrationのMordell–Weil階数を確定するには、多数のsectionを作るだけでなく、それらの独立性と上界を同時に制御する必要がある。Calabi–Yau条件、flatness、滑らかさも保存しなければならない。
主結果
主定理（Theorem 1.1）
滑らかな射影三次元多様体$X$とflat morphism $X\to\mathbb P^1$が存在し、一般fiberは楕円曲面に由来する曲線で、$X$はCalabi–Yau、
$$(h^{1,1}(X),h^{2,1}(X))=(25,1)$$
かつMordell–Weil階数は12である。さらに$X$は
$$\mathbb P(\mathcal O_{\mathbb P^1}(3)^{\oplus2}\oplus\mathcal O_{\mathbb P^1}(4)\oplus\mathcal O_{\mathbb P^1})$$
内の反標準quarticと双有理である。
証明の見取り図
Kummer曲面族からWeierstrass modelを取り出し、特異点を追跡して射影的crepant resolutionを構成する。明示した12本のsectionの高さpairingで独立性を示し、Shioda–Tate型の計算とHodge数から階数の上限を合わせる。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2610.01276
- Introduction: Section 1
- Introduction中で言及された主要定理番号: 本文の主結果節に記載
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
- source_scope: Abstract and Introduction