複素微分幾何学 · 2026-09-21
Codimension-three regularity of noncollapsed Ricci limit spaces under an integral volume-deficit bound
Ricci極限空間の余次元3正則性 Lingling Kong lingling-kong-ujkpba metric-limits curvature Curvature geometry 曲率幾何 Metric limits and Gromov–Hausdorff geometry 距離空間極限・Gromov–Hausdorff幾何arXiv Abstract
Let $(X,d,p)$ be a noncollapsed pointed Gromov--Hausdorff limit of complete $n$-dimensional Riemannian manifolds with a uniform lower Ricci curvature bound, where $n\ge4$. We assume that, on each bounded ball, the integral of the $3/2$ power of the small-ball volume deficit relative to the hyperbolic comparison volume is $O(r^3)$ as $r\rightarrow0$. We prove that the metric singular set has Hausdorff dimension at most $n-3$ and sigma-finite $(n-3)$-dimensional Hausdorff measure, thus confirming a particular case of codimension-three regularity conjecture \cite[Conjecture 2.4]{Naber2020}.
日本語要約
一様なRicci曲率下界を持つ完備 $n$ 次元多様体の非崩壊pointed Gromov--Hausdorff極限を考える。各有界球上で双曲比較体積に対する小球体積欠損の $3/2$ 乗積分が $r o0$ で $O(r^3)$ なら、特異集合のHausdorff次元は高々 $n-3$ で、その $(n-3)$ 次元Hausdorff測度は $\sigma$-有限である。
Let $(X,d,p)$ be a noncollapsed pointed Gromov--Hausdorff limit of complete $n$-dimensional Riemannian manifolds with a uniform lower Ricci curvature bound, where $n\ge4$. We assume that, on each bounded ball, the integral of the $3/2$ power of the small-ball volume deficit relative to the hyperbolic comparison volume is $O(r^3)$ as $r\rightarrow0$. We prove that the metric singular set has Hausdorff dimension at most $n-3$ and sigma-finite $(n-3)$-dimensional Hausdorff measure, thus confirming a particular case of codimension-three regularity conjecture \cite[Conjecture 2.4]{Naber2020}.
一様なRicci曲率下界を持つ非崩壊Gromov--Hausdorff極限に対し、小球の体積欠損の $3/2$ 乗積分が $O(r^3)$ となる仮定から特異集合の余次元3評価を導く。Hausdorff次元だけでなく、臨界次元測度の $\sigma$-有限性まで証明する。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.21452
- 著者: Lingling Kong
- 初回投稿日: 2026-09-18
- 最終更新日: 2026-09-18
- 主分類・副分類: math.DG
- ライセンス: CC BY-NC-SA 4.0
要約
一様なRicci曲率下界を持つ非崩壊Gromov--Hausdorff極限に対し、小球の体積欠損の $3/2$ 乗積分が $O(r^3)$ となる仮定から特異集合の余次元3評価を導く。Hausdorff次元だけでなく、臨界次元測度の $\sigma$-有限性まで証明する。
一様なRicci曲率下界を持つ完備 $n$ 次元多様体の非崩壊pointed Gromov--Hausdorff極限を考える。各有界球上で双曲比較体積に対する小球体積欠損の $3/2$ 乗積分が $r o0$ で $O(r^3)$ なら、特異集合のHausdorff次元は高々 $n-3$ で、その $(n-3)$ 次元Hausdorff測度は $\sigma$-有限である。
この紹介はAbstractとIntroductionに記された主張と方法の範囲に限る。後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
Ricci曲率下界を持つ非崩壊極限では正則集合と特異集合の成層が知られる。Naberの余次元3正則性予想は、適切な積分曲率・体積条件の下で特異集合が余次元3以上になることを求め、本論文は体積欠損条件の一場合を解決する。
主結果
主定理（Theorem 1.1）
$n\geq4$ とし、$(X,d,p)$ を一様なRicci曲率下界を持つ完備 $n$ 次元Riemann多様体列の非崩壊pointed Gromov--Hausdorff極限とする。各有界球上で、双曲空間の比較体積から測った小球体積欠損の $3/2$ 乗の積分が $r o0$ で $O(r^3)$ なら、特異集合 $\mathcal S(X)$ は
$$\dim_{\mathcal H}\mathcal S(X)\leq n-3$$
を満たし、$\mathcal H^{n-3}$ に関して $\sigma$-有限である。
証明の見取り図
体積比の単調性と定量的分裂を用いて、体積欠損の積分条件を悪いscaleの個数の制御へ変換する。定量的stratificationとcovering argumentを組み合わせ、特異集合のMinkowski/Hausdorff型評価を得た後、臨界次元で可算個の有限測度部分へ分解する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.21452
- Introduction: Section 1, pp. 1–3
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1
- 確認したarXivバージョン: 2609.21452v1
- 確認したライセンス: CC BY-NC-SA 4.0
- source_scope: Abstract and Introduction