複素微分幾何学 · 2026-09-04

Lagrangian Foliations on compact Kähler manifolds

コンパクトKähler多様体上のLagrangian葉層

Fabio Podestà

fabio-podesta-1713zat foliations curvature Curvature geometry 曲率幾何 Foliations 葉層構造

arXiv Abstract

We prove that a compact Kähler manifold carrying a regular Riemannian foliation whose leaves are Lagrangian and minimal is flat. In order to prove this result, we establish a foliated version of an integral formula due to Ros.

日本語要約

正則Riemann葉層を持つコンパクトKähler多様体を考え、その葉がLagrangianかつ極小ならば多様体の計量が平坦になることを示す。証明のために、Rosによる積分公式の葉層版を確立する。

We prove that a compact Kähler manifold carrying a regular Riemannian foliation whose leaves are Lagrangian and minimal is flat. In order to prove this result, we establish a foliated version of an integral formula due to Ros.

コンパクトKähler多様体が、葉がLagrangianかつ極小である正則Riemann葉層を持つなら、計量は平坦であることを示す。極小性からRicci平坦性を導き、葉層版Ros積分公式によって第二基本形式を消滅させるため、平坦複素トーラス型の標準例を特徴づける剛性定理となる。

arXiv
2609.01142v1
初回投稿日
2026-09-01
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

コンパクトKähler多様体 $(M,g,J)$ 上で、葉がLagrangian部分多様体となる正則Riemann葉層を考える。この対象はシンプレクティック幾何と葉層幾何の接点にあり、平坦複素トーラスが基本例を与える。しかしRiemann性とLagrangian性だけでは、非平坦な例を排除できない。

本論文の主定理は、全ての葉が極小であるという追加仮定の下で $(M,g)$ が平坦になると述べる。従来のHamilton--Kotschickの結果は葉層が平行であることを仮定していたが、本結果はより弱いRiemann性と極小性から平行性そのものを導く。

証明では、Kähler条件とbundle-like条件により一方のO'Neill tensorを消し、直交分布が可積分かつ全測地的であることを示す。さらにLagrangian分解が第一Chern類を実コホモロジーで消し、極小性がscalar flatnessを与えることからRicci平坦性を得る。

最後にRosの積分公式を葉層に適合させ、第二基本形式を符号付き誤差なしの非負量の積分へ組み込む。この大域積分が第二基本形式の消滅を強制する。コンパクト性はこの議論に本質的であり、Introductionでは完備非コンパクトの場合への拡張は未解決として残される。

背景と問題設定

葉層の接分布を $\mathcal V$、その直交補を $\mathcal H=\mathcal V^\perp=J\mathcal V$ とする。平行Lagrangian葉層を持つKähler計量が平坦であることは既知である一方、平行性を仮定しない分類は得られていなかった。特異葉を許せばtoric多様体に広い例があるため、本論文は正則葉層に限定し、極小性が必要な剛性を回復するかを問う。

O'Neill tensorを $A,T$ とすると、Kähler条件とRiemann葉層の条件から $A=0$ となる。残る外在幾何は、垂直ベクトル $U,V,W$ に対する対称三次tensor

$$ S(U,V,W)=g(T_UV,JW) $$

に符号化される。葉の平均曲率ベクトルを $N$ とすれば

$$ \operatorname{Scal}=2\operatorname{div}N $$

である。また複素ベクトル束として $(TM,J)\simeq\mathcal V\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ なので、$c_1(M)=0$ が実コホモロジーで成り立つ。

主結果

平坦性定理（Theorem 1.1）

$(M,g,J)$ をコンパクトKähler多様体とし、$\mathcal F$ を正則Riemann葉層とする。各葉がLagrangianかつ極小ならば、結論として

$$ (M,g)\text{ is flat} $$

が成り立つ。特に、極小性は葉層の第二基本形式 $T$ を消滅させて葉層を平行にする十分条件である。この点で、平行性を最初から置いた既知の平坦性定理を強化する。

極小性 $N=0$ とscalar curvatureの発散公式から計量はscalar-flatとなる。コンパクトKähler性と $c_1(M)=0$ を合わせるとRicci formも消え、$g$ はRicci-flatである。ただしRicci平坦性だけでは結論に足りず、次の積分公式が残るtensor $T$ を消す。

証明の見取り図

$A=0$ により $\mathcal H$ は可積分で、その葉は全測地的となる。水平単位球面束 $U\mathcal H$ 上の水平測地vector fieldを考えると、自然な測度に関するその発散は $-g(N,v)$ である。したがって極小性は水平測地流を測度保存にし、任意の共変tensor $Q$ に対するRos型の葉層積分公式を可能にする。

$S$ の水平共変微分から対称trace-free四次tensor $C$ を作り、$S\otimes C$ の対称化へ積分公式を適用する。Introductionに示された計算は

$$ 0=\int_M\left( |C|^2+\left|\sum_iB_i^2\right|^2+\sum_{i,j}|[B_i,B_j]|^2 \right)d\mu_M $$

へ帰着する。各項が非負であるため全てが消え、$B=0$、同値に $T=0$ となる。葉層が平行になり、既知の平坦性議論が適用される。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.01142
  • Introduction: Section 1, pp. 1–2
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1
  • 論文構成の説明: Introduction, pp. 1–2
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction