複素微分幾何学 · 2026-08-21
A Variational Characterization of Positive Scalar Curvature Kähler metrics
正scalar曲率Kähler計量の変分的特徴づけ Zehao Sha zehao-sha-v6bi8q curvature csck-extremal-kahler-metrics cscK and extremal Kähler metrics cscK・extremal Kähler計量 Curvature geometry 曲率幾何arXiv Abstract
We introduce the prescribed scalar curvature measure equation on a compact Kähler manifold. For a Kähler class of positive total scalar curvature, we prove that the following are equivalent: the existence of a positive scalar curvature Kähler metric, solvability of this equation for every admissible measure, $d_1$-coercivity of the associated functionals, and uniform geodesic stability along finite-energy $d_1$-geodesic rays. As a consequence, in each fixed Kähler class, the space of positive scalar curvature Kähler metrics is either empty or contractible. We further prove that every Kähler class on a positive-dimensional compact smooth toric Kähler manifold contains a torus-invariant metric of positive scalar curvature. Therefore, for every Kähler class, the prescribed scalar curvature measure equation admits a smooth solution for every admissible measure, unique modulo constants.
日本語要約
compact Kähler manifold上でprescribed scalar curvature measure equationを導入し、正scalar曲率Kähler計量の存在を方程式の可解性、functionalのcoercivity、geodesic stabilityで特徴づける。固定Kähler類の正scalar曲率計量空間は空またはcontractibleであり、smooth compact toricの場合は常に非空である。
We introduce the prescribed scalar curvature measure equation on a compact Kähler manifold. For a Kähler class of positive total scalar curvature, we prove that the following are equivalent: the existence of a positive scalar curvature Kähler metric, solvability of this equation for every admissible measure, $d_1$-coercivity of the associated functionals, and uniform geodesic stability along finite-energy $d_1$-geodesic rays. As a consequence, in each fixed Kähler class, the space of positive scalar curvature Kähler metrics is either empty or contractible. We further prove that every Kähler class on a positive-dimensional compact smooth toric Kähler manifold contains a torus-invariant metric of positive scalar curvature. Therefore, for every Kähler class, the prescribed scalar curvature measure equation admits a smooth solution for every admissible measure, unique modulo constants.
正の平均scalar曲率をもつKähler類について、正scalar曲率計量の存在をprescribed scalar curvature measure equation、$d_1$-coercivity、geodesic stabilityと同値にする。その帰結として計量空間のcontractibilityとtoric Kähler manifoldでの普遍的存在を得る。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2608.20023v1
- 著者: Zehao Sha
- 初回投稿日: 2026-08-20
- 最終更新日: 2026-08-20
- 主分類・副分類: math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
固定Kähler類に正scalar曲率計量が存在する条件を、変分法と測度値方程式で特徴づける。平均scalar曲率が正であることのほかに必要な条件を、有限energy空間上のcoercivityとして捉える。
存在、すべてのadmissible measureに対するprescribed scalar curvature measure equationの可解性、関連functionalの $d_1$-coercivity、有限energy geodesic rayに沿うuniform stabilityが同値となる。
背景と問題設定
問題はKähler class $\alpha$ の中で $S(\omega)>0$ を満たす計量を見つけることである。論文はscalar curvatureを指定された測度に合わせる方程式を導入し、metric completion $\mathcal E^1$ 上の変分問題へ移す。
主結果
変分的同値条件（Theorem A）
正のtotal scalar curvatureをもつclassについて、正scalar曲率Kähler計量の存在、全admissible measureに対する方程式の可解性、$d_1$-coercivity、有限energy rayに沿うuniform geodesic stabilityは同値である。
位相的・toricな帰結
各Kähler class内の正scalar曲率Kähler計量の空間は空またはcontractibleである。また正次元compact smooth toric Kähler manifoldの任意のKähler classはtorus-invariantな正scalar曲率計量を含む。
証明の見取り図
方程式を有限energy Kähler potential空間上のfunctionalのEuler–Lagrange条件として扱う。coercivityからminimizerを構成し、regularityによりsmooth metricへ戻す。geodesic rayによる非coercive性の検出がstabilityとの同値を与える。
原論文との対応
- Introduction: Section 1
- 主要結果: Theorem Aとその系
- Abstractページ: arXiv:2608.20023
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction