代数幾何学 · 2026-08-21

Positivity of vector bundles and Dominance

ベクトル束の正値性とdominance順序

Laytimi Fatima, Werner Nahm

laytimi-fatima-19p2uwc werner-nahm-1e8oytc positivity vector-bundles-sheaves Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層

arXiv Abstract

Let $E$ be a vector bundle and $S_a$, $S_b$ the Schur functors associated to partitions $a$ and $b$. Previously we have shown that ampleness of $S_aE$ implies ampleness of $S_bE$ when $a$ is greater than $b$ in the dominance partial order. Here we prove that this result generalizes to $k$-ample, semiample and nef vector bundles. Our proof uses the common algebraic nature of these three properties and an investigation of the Littlewood-Richardson rules.

日本語要約

ベクトル束 $E$ とpartition $a,b$ に対応するSchur functorを考える。$S_aE$ のample性がdominance順序の下で $S_bE$ のample性を導く既知結果を、$k$-ample、semiample、nefの場合へ拡張する。

Let $E$ be a vector bundle and $S_a$, $S_b$ the Schur functors associated to partitions $a$ and $b$. Previously we have shown that ampleness of $S_aE$ implies ampleness of $S_bE$ when $a$ is greater than $b$ in the dominance partial order. Here we prove that this result generalizes to $k$-ample, semiample and nef vector bundles. Our proof uses the common algebraic nature of these three properties and an investigation of the Littlewood-Richardson rules.

Schur functor $S_aE$ の正値性がpartitionのdominance順序に沿って $S_bE$ へ伝播する原理を、ampleだけでなく$k$-ample、semiample、nefへ拡張する。Littlewood–Richardson則の共通構造によって、これらを一つの「algebraic property」として扱う。

arXiv
2603.02037v1
初回投稿日
2026-03-02
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

ベクトル束のpositivityをSchur functorで変換したとき、異なるpartitionの間で性質がどう移るかを調べる。既知のampleの場合を、$k$-ample、semiample、nefへ同時に一般化する。

鍵は、直和・tensor積・tensor冪からの指数除去に閉じた性質をalgebraic propertyと呼ぶ抽象化である。これら三つのpositivityはいずれもこの条件を満たす。

partition $a,b$ の正規化されたdominance条件の下で、$S_aE$ の性質が $S_bE$ へ伝わる。証明はcohomological criterionに依存せず、Littlewood–Richardson則の構造だけを用いる。

背景と問題設定

同じweightのpartitionでは、$a\succeq b$ をすべての初期部分和が大きいこととして定める。weightが異なる場合は $|b|a$ と $|a|b$ を比較する。

主結果

positivityのalgebraic性（Theorem 1.2）

semiampleness、$k$-ampleness、nefnessは、直和・tensor積・指数除去に関してalgebraic propertyである。

dominanceによる伝播（Theorem 1.3）

$a,b$ をpartitionとし、

$$ |b|a\succeq |a|b $$

とする。$A$ がalgebraic propertyなら、$A(S_aE)$ から $A(S_bE)$ が従う。特に正整数 $n$ に対して $A(S_{na}E)$ と $A(S_aE)$ は同値である。

証明の見取り図

Schur functorをtensor冪の直和因子として分解し、Littlewood–Richardson係数が非零となるpartitionの集合を比較する。適切な冪を取ると必要な直和因子が包含され、additivityとmultiplicativityで性質を移し、最後にexponent eliminationを適用する。

原論文との対応

  • Introduction: Section 1, pp. 1–4
  • 主要結果: Theorems 1.2, 1.3
  • Abstractページ: arXiv:2603.02037
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction