複素微分幾何学 · 2026-08-06
The top Yau--Yang conjecture for K"ahler manifolds with positive sectional curvature
正の断面曲率をもつKähler多様体に対するtop Yau--Yang予想 Ved V. Datar, Vamsi P. Pingali, Harish Seshadri ved-v-datar-1g566fm vamsi-p-pingali-3pnp5f harish-seshadri-1t0lkb positivity curvature Positivity 正値性 Curvature geometry 曲率幾何arXiv Abstract
We prove that the top wedge power of the Ricci form of a complete non-compact Kähler manifold with positive sectional curvature has finite integral. Using a result of Chen-Zhu, an immediate consequence is the quasiprojectivity of such manifolds under the assumption of bounded sectional curvature. A key new idea to prove Bézout estimates along with a Lipschitz weight with finite Monge-Ampère mass is used in the proof of the main result.
日本語要約
正の断面曲率をもつ完備非compact Kähler多様体について、Ricci formの最高次外積の積分が有限であることを示す。有界断面曲率を加えるとChen--Zhuの結果からquasiprojective性が従う。有限Monge--Ampère質量をもつLipschitz plurisubharmonic weightと新しいBézout型評価が主要な道具である。
We prove that the top wedge power of the Ricci form of a complete non-compact Kähler manifold with positive sectional curvature has finite integral. Using a result of Chen-Zhu, an immediate consequence is the quasiprojectivity of such manifolds under the assumption of bounded sectional curvature. A key new idea to prove Bézout estimates along with a Lipschitz weight with finite Monge-Ampère mass is used in the proof of the main result.
正の断面曲率をもつ完備非compact Kähler多様体で、Ricci formのtop wedgeの全質量が有限であることを証明する。曲率が有界なら既知の結果と合わせてquasiprojective性が従う。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2606.19806v1
- 著者: Ved V. Datar, Vamsi P. Pingali, Harish Seshadri
- 初回投稿日: 2026年6月18日
- 最終更新日: 2026年6月18日（v1）
- 主分類・副分類: Differential Geometry (math.DG); Complex Variables (math.CV)
- ライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
要約
Yau--Yang問題は、非負の正則二断面曲率をもつ完備Kähler多様体でRicci formの各次数の積分成長を問う。最高次では、全空間上のtop Ricci massの有限性が問題となる。
本論文は正の断面曲率の下で、次元や最大体積成長を仮定せず最高次の場合を解く。さらに正の正則二断面曲率と、有界gradientをもつ強plurisubharmonic exhaustionという仮定でも同じ結論を得る。
この有限性は非compact Kähler多様体の複素代数的compactificationと結び付き、有界曲率の場合のquasiprojective性を直ちに導く。
背景と問題設定
一般の問いは、基点 $o$ と距離球 $B(o,r)$ に対して
$$ r^{2k-2n}\int_{B(o,r)}\operatorname{Ric}_\omega^k\wedge\omega^{n-k} $$
が $r$ に依らず有界か、というものである。本論文は $k=n$、すなわち $\int_X\operatorname{Ric}_\omega^n$ の有限性を扱う。
主結果
top Ricci massの有限性（Theorem 1.1）
正の断面曲率をもつ完備非compact Kähler多様体 $(X^n,\omega)$ では
$$ \int_X\operatorname{Ric}_\omega^n<\infty $$
である。より一般に、正の正則二断面曲率をもち、一様有界gradientの滑らかな強plurisubharmonic exhaustionを許す場合にも成立する。
quasiprojective性（Theorem 1.2）
正かつ有界な断面曲率をもつ完備非compact Kähler多様体はquasiprojective多様体にbiholomorphicである。これはTheorem 1.1をChen--Zhuの既知の定理へ入力した帰結である。
証明の見取り図
先行研究で構成した一様Lipschitz plurisubharmonic関数 $\varphi$ は
$$ 0<\int_X(\sqrt{-1}\partial\bar\partial\varphi)^n<\infty $$
を満たす。heat flowで滑らかにし、重み付き $L^2$ 法でcanonical bundleの非零正則切断を作る。Poincaré--Lelong型の関係をBedford--Taylor理論で正当化し、linear growth関数と帰納法による新しいBézout型評価でtop Ricci massを制御する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2606.19806v1
- Introduction: Section 1, pp. 1–3
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1 and 1.2
- 論文構成の説明: proof overview, pp. 2–3
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
- source_scope: Abstract and Introduction