Uniform indices for semi-log-canonical log Calabi–Yau pairs

1. 正規化成分を共通の偶数次数で自明化する

正規化$\nu:\coprod X_i\to X$に対して $K_{X_i}+\Delta_i=\nu^*(K_X+B)|_{X_i}$と置く。$\Delta_i$にはconductorが係数1で加わる。UI Theorem 1.2、p.2によるnormal lc指数を用い、$d,\Phi$だけで定まる偶数$m$を選んで、各成分上に $\operatorname{div}(\theta_i)=-m\Delta_i$となる有理$m$-canonical形式を取る。これは正規化上の自明化であり、まだ$X$上の自明化ではない。

Theorem 2.2; §7.3 · pp. 5, 37–38

2. 既存の非一様な自明化で留数比を定数にする

conductorのgeneric nodeを辺、正規化成分を頂点とする有限グラフを考える。辺$e:i\to j$の両枝の留数を$\theta_S,\theta_T$と書くと、枝の対応$\tau$による比 $r_e=\tau^*\theta_T/\theta_S$が現れる。ここで原典は、もともとの$\mathbb Q$-線形自明性から得られる非一様な主因子次数$M$（$m\mid M$）を一度使い、 $$ r_e^{M/m}=b_i/b_j $$ を導いて$r_e$が定数であることを示す。$M$そのものを一様に抑える論法ではない。§7.3、pp.37–38

§7.3; (7.8) · p. 38

3. 留数比を最小klt stratumへ運ぶ

次の接続が一様性の要点である。同一のdlt成分の最小lc strata間では、Kollár Theorem 10・Proposition 14、pp.6,8–9の$\mathbb P^1$-linkが留数を保つ。偶数$m$が符号を消す。他方、conductorを渡る写像については本稿Lemma 7.2が、同じ$r_e$を保つ最小strata間の$B$-双有理写像を作る。これは双有理写像をstratumへ単純に制限する操作ではない。共通SNCモデル上の局所単項式行列の行列式$\pm1$と留数体の比較を使う。Lemmas 7.1–7.2、pp.35–37

Lemmas 7.1–7.2 · pp. 35–37

4. 閉路の指標を一つの指数で消す

したがって任意の閉路に沿う積$\prod_e r_e$は、一つのklt最小stratum上の$B$-双有理自己写像の指標になる。後述のTheorem 6.1から $$ L=\operatorname{lcm}_{0\leq q\leq d-1}L(q,m),\qquad a=mL $$ とすれば、全閉路について$\prod_e r_e^L=1$である。全域木に沿って定数$c_i$を選ぶと$c_i=c_jr_e^L$がすべての辺で成立し、$c_i\theta_i^L$が貼り合う。自己ループ・多重辺もこの議論に含まれる。閉路長を冪に掛けないため、成分数への依存が生じない。式(7.10)–(7.11)、p.38

(7.10)–(7.11) · p. 38

ここで使う一様な指標指数の構成は Theorem 6.1 の証明に分ける。これによって、閉路の長さによらず次の node での貼り合わせへ進める。

5. nodeで生成元を合わせ、S2で延長する

最後に節が降りるだけでは足りず、Cartier性を得る必要がある。split node $F[[x,y]]/(xy)$ではcanonical生成元の二枝が$(dx/x,-dy/y)$となり、偶数次数で留数の一致が生成元の一致を与える。非split nodeは二次拡大後に照合して降下する。codimension oneで得た生成元を$S_2$性で延長して、次数$a$の反射的延長そのものを$\mathcal O_X$と同一視する。標数零の一般の代数閉体への移行は、有限生成体への降下と忠実平坦な基底変換を用いる。§7.2–§7.3、pp.37–39

§§7.2–7.3 · pp. 37–39

1. 大きなrankから小消滅次数の被覆族を得る

Lemma 4.1は、$K\sim0$のcanonicalモデルに対する、正規化したample類のSeshadri下界から$r(T)$の上界を与える対角線評価である。その前段に、primitive成分に対する定量的Hodge norm差を置く（Lemma 3.2）。rankが無制限なら局所正値性が小さくなり、UI Lemmas 6.2–6.4、pp.25–26のtracking・generic chain・Iitaka fibreの小体積評価を通して、完全線形系の消滅次数が小さい$\kappa=0$部分多様体の被覆族を得る。Lemma 5.5、pp.18–20

Lemma 4.1 · pp. 9–16; Lemma 5.5 · pp. 18–20

2. chain fieldをモデル上の射にする

原典はこれらのchain fieldを小さいterminalモデル上の射として実現する。movable $J$から作る$(T,\epsilon J)$にLA Theorem 11.1、p.73を適用し、MMPの停止とsemiample終点を使う。この箇所はLAの豊富性を実際に入力する。Lemma 5.6、pp.20–21。

Lemma 5.6 · pp. 20–21 · LA, Theorem 11.1 · p. 73

3. 最大の底に合わせて体積と次数を較正する

適切なchain quotientの次元を最大化し、有理像の仮定とUIのmoduli分母・有界性入力で底を制御する。さらに底のcodimension $\geq2$へ写る因子を処理し、Lemma 5.7でbigな$D$と線形汎関数$\ell_X$を較正する。$v=\operatorname{vol}(D)^{1/n}$、$b=\dim Y$、$s=n-b$として、その尺度は $$ c\delta\leq v\leq C\delta,\qquad \ell_X(D)\leq C\delta $$ である。pp.21–25

Lemma 5.7; §5.4 · pp. 21–25

4. 垂直jetと水平切断数を体積に比較する

小消滅次数の族は底の超平面との比較から垂直になり、最大性によってchain leafはgeneric fibreを埋める。垂直jet評価でgeneric rankを$C(m\eta v)^s$に抑え、底ではdeterminantとcotangentの傾きを用いて $$ h^0(X,mD)\leq C(m\eta v)^s(m\delta)^b $$ を得る。十分小さい$\eta$について、これは体積による$m^nv^n/n!$という主要項と矛盾する。Lemma 5.8の$\mathbb P^b$上の切断評価ではrankが係数に一次で現れることが、この比較に必要である。§5.5、pp.25–28

Lemma 5.8; §5.5 · pp. 25–28

1. 写像を積被覆へ持ち上げ、因子を固定する

crepant terminal化の後、ULI Proposition 5.1・Lemmas 5.2–5.3、pp.12–13によるquasi-étale積被覆を用いる。境界を持つrationally connected因子、abelian因子、境界のないCalabi–Yau・symplectic因子に分かれ、境界は最初の因子だけから来る。Lemma 6.4は基本群のcharacteristic subgroupを用いて写像を被覆へ持ち上げ、接方向の分解を$n!$乗で固定する。被覆次数は一様でなくてよい。因子形式への倍率$d_i$、次数$p_i$を用いた比較は $$ c^{n!}=\prod_i d_i^{\,m/p_i} $$ であり、被覆次数をこの冪に持ち込まない。pp.30–32

Lemma 6.4 · pp. 30–32 · ULI, Proposition 5.1; Lemmas 5.2–5.3 · pp. 12–13

2. RC因子の指標を有界族で抑える

RC因子はHan–Jiang Theorem 1.2、pp.1–2のfixed-index有界性を経て、Jiang–Liu Theorem 3.2、p.8の有界族におけるpluricanonical表現の評価に渡す。

Lemma 6.5 · pp. 32–33 · HJ, Theorem 1.2 · pp. 1–2 · JL, Theorem 3.2 · p. 8

3. Hodge rankから残る指標の次数を抑える

境界なしの非abelian因子ではUI Lemma 5.2、pp.21–22の有理像の性質を使い、Theorem 5.1を適用する。abelian因子には$\binom{2r}{r}$というcohomology rank上界がある。整係数のpolarized Hodge構造への作用を通じて、固有値の位数$e$に$\varphi(e)\leq b(r)$を課し、可能な$e$の最小公倍数を取る。これをRC因子の指数と合わせると$L(n,m)=n!E(n,m)$が得られる。Lemmas 6.5–6.6、pp.32–34

Lemma 6.6; Theorem 6.1 proof · pp. 33–34

この rank の一様上界は Theorem 5.1 の証明から来る。得た指標指数を Theorem 1.1 の閉路の処理へ戻す。