Uniform log Iitaka fibrations and bounded moduli denominators

1. 相対dltモデルで重みを因子等式にする

最初に Proposition 4.5、pp. 9–10 で相対dltモデル $(N,T+H)$ を用意し、$T$ を被約特殊ファイバー、$H$ を水平境界として重みを実際の因子恒等式にする。負のcrepant係数を除くと生じる有効例外誤差は、相対MMP後に垂直になる。相対主因子との比較からファイバーのスカラー倍となり、閾値の定義でそのスカラーが消える。相対MMPは射影的log abundanceをそのまま相対版として引用するのでなく、底の十分大きい因子を加え、lc extremal rayの長さ評価で各収縮を垂直にする Lemma 3.1、pp. 6–7 を経由する。

Lemma 3.1; Proposition 4.5 · pp. 6–7, 9–10

2. 水平係数1成分があれば、Stein次数を抑えて留数を取る

$H$ に係数1の成分 $S$ があれば、dlt随伴と留数で次元を下げる。SDのStein次数評価を一般ファイバー上で適用し、$S\to C_S\to C$ の有限部分の次数を $D_s$ で抑える。分岐指数 $e\le D_s$ に対して留数の重みは $e\,w_z(\phi)$ となり、$q(s-1,m)\operatorname{lcm}(1,\ldots,D_s)$ で元の分母も消える（Lemma 4.6、pp. 10–11）。

Lemma 4.6 · pp. 10–11 · SD, Theorem 1.1 · p. 1

3. 係数1の水平成分がなければklt評価を使い、二つの整数を合わせる

係数1の水平成分がなければ、準備した一般ファイバーは $\mathbb Q$-Gorenstein kltとなる。ここから先は別の指標評価である。

二つの枝で得た整数の公倍数を $q(s,m)$ に選べば、帰納法が閉じる。

Proof of Theorem 4.2 · p. 11

1. ブロック分解を比較被覆上の作用へ移す

MWの分解により、有限quasi-étale被覆の上で、有理連結な境界付きブロック、アーベル多様体、Calabi–Yauブロック、既約symplecticブロックへ分ける。非有理連結ブロックには境界を残さない。有理連結ブロックの対数接ベクトル場を消す Lemma 5.2、pp. 12–13 が、後の積の比較を支える。有限ガロア閉包自体が積であるとは仮定しない。Proposition 5.4、pp. 14–15 は接層の自己準同型代数の中心冪等元からブロックの関数体を回復し、$s!$ 乗で置換を止め、共通の有限比較被覆と各ブロック上の作用を作る。

Lemmas 5.2–5.3; Proposition 5.4 · pp. 12–15 · MW, Theorem 1.3

2. 重み0への正規化で慣性関係式を得る

その上で半安定化と重み0への正規化を行い、$\phi=a\bigwedge_i\eta_i^{\otimes m/p_i}$ と書く。$p_i=m$ は有理連結ブロック、その他では $p_i=1$ である。分岐指数を $\ell$、$b=s!$ とすると、式 (6.2)–(6.3)、p. 19 は

となる。

(6.2)–(6.3) · p. 19

3. 固定点と正規成分の留数で指標を消す

アーベルブロックでは有限階の整係数コホモロジーに対する作用から指標の位数を抑える。他のブロックでは、Du Bois型base changeで一般・特殊ファイバーの $H^j(\mathcal O)$ を比較し、coherent Lefschetzの交代跡から有界な冪に固定点を得る。固定点を通る係数1の成分をさらに有界な冪で固定し、その正規成分に随伴して留数を取る。Uのnormal lc指数定理を巡回商へ適用すると、留数の指標が一様な冪で消える（Lemmas 6.5–6.6、pp. 21–22）。特殊ファイバー全体のslc指数定理はここでの入力ではない。

Lemmas 6.3–6.6 · pp. 19–22 · U, Theorem 1.2

4. 分岐次数を整除関係から消去する

共通の $Q(s,m)$ で全ての $\lambda_i^Q=1$ が得られると、$\ell\mid bQ\operatorname{ord}_{c'}a$ となる。したがって

これは Proposition 6.7、p. 23 の結論である。制御しない半安定化の分岐次数が最後に消去されることが重要な接続である。

Proposition 6.7 · p. 23

1. 同じ指数で降下し、正確な表示を選ぶ

Uのnormal lc指数定理を幾何的一般ファイバーに適用し、Hilbert 90で同じ次数の自明化を降下させることで、$p_0$ を一様にする。定性的なmoduli降下はFG、判別係数のDCCはHMXに依存する。

Proposition 7.1 · pp. 23–24 · U, Theorem 1.2 · FG, Theorem 3.6

2. moduli係数を曲線重みとして測る

素因子 $P\subset W$ の一般点を通る曲線への切断では、crepant境界の負係数を保持したまま係数 $\alpha$ と閾値 $t_P$ を保つ。相対形式の重みは $w_z(\phi)=\alpha-1+t_P$ となり、moduli係数との差は $K_W$ の整係数だけである（Lemma 7.3、pp. 25–27）。全相対次元について $q(s,p_0)$ の公倍数を取れば $pM_W$ は整となり、滑らかさからCartierになる。

Theorem 7.2; Lemma 7.3 · pp. 25–27

3. 底の有効双有理性と全切断空間を結ぶ

$L$ がbigなら、BZの有効双有理性を底に適用する。ただしcrepant境界の負の例外係数は被約例外境界で置き換え、有効な一般化対にしてから適用する。切断空間は $p_0\mid n$ に対して

と一致する。Lemma 8.1、pp. 27–28 はこの丸めた完全切断空間の一致と双有理不変性を扱い、全空間のCartier指数を導入しない。任意次数の切断比は切断の冪を掛けて $p_0$ の倍数次数へ移せるので、全飯高体も底の関数体に一致する（Proposition 8.2、pp. 28–29）。

Lemma 8.1; Proposition 8.2 · pp. 27–29 · BZ, Theorem 1.3

1. 丸めた切断空間を保ってgood modelへ移る

$\kappa(X,D)\ge0$ から $D$ は擬有効である。crepant dlt改変後にLAとTXを適用し、半豊富な $D'=K_{X'}+B'$ を持つgood modelへ進む。係数は $\Phi\cup\{1\}$ に留まる。共通解消上で元の随伴因子の引戻しと $D'$ の引戻しとの差は有効例外因子であり、Lemma 8.1が丸めた全切断空間を同じ関数体内で一致させる。

Lemma 8.1(ii); proof of Theorem 1.1 · pp. 27–28, 29 · LA, Theorem 11.1 · TX, Theorem A

2. 正の飯高次元では、bigな底の有効系を使う

半豊富な縮約 $f:X'\to Z$ の底が正次元なら、$D'\sim_{\mathbb Q}f^*L$ で $L$ は豊富である。Proposition 8.2を固定係数集合 $\Phi\cup\{1\}$ に適用し、一様な次数の全切断比が $k(Z)=K(D')$ を生成する。主張は底と同じ次元の像ではなく、この埋め込まれた関数体の一致である。

Proposition 8.2; proof of Theorem 1.1 · pp. 28–30

3. 飯高次元0では指数定理を使い、次数を揃える

$Z$ が点なら $D'\sim_{\mathbb Q}0$。Uのnormal lc指数定理が一様な主因子倍を与える。その次数の切断比は定数であり、任意の次数の比も分子分母に切断の冪を掛けて共通倍数次数へ移せるので、$K(D')=\mathbb C$ である。両枝の次数の公倍数を取り、丸めた切断比較で $X$ へ戻す。全空間のCartier指数を一様化する必要はない。

(8.4); proof of Theorem 1.1 · pp. 28, 30 · U, Theorem 1.2

4. 切断比の体の等式を任意の標数0体へ移す

有限生成の定義体を代数閉化した $k_0$ は $\mathbb C$ に埋め込める。Lemma 8.3は丸めた因子層の切断のbase changeと、中間体 $F\subset k(X)$ に対する交わりの等式を使い、非空性と $F_m(D)=K(D)$ が代数閉体の拡大の前後で同値であることを示す。複素数上の同じ整数を $k_0$ に降下し、元の $k$ へ拡大して主定理を得る。

Lemma 8.3, (8.5)–(8.6); proof of Theorem 1.1 · pp. 29–30