Numerical Semiampleness of Nef Adjoint Divisors

1. 普通の半豊富随伴を保ったまま一般化随伴をnefにする

まず通常の$T$-MMPの停止する選択を取り、その終点の通常随伴$U_0$をlog abundanceで半豊富にする。次に十分小さい$s_0>0$に対する$U_0+s_0N_0$-MMPを選ぶ。$dU_0$をfree Cartierとすると、負の極端半直線の長さの評価と$U_i\cdot C\ge1/d$の離散性により、この第二のMMPは$U_i$に関して自明になる。従って普通の半豊富性を壊さず、一般化随伴をnefにできる。

共通解消上の二つの有効例外差は、非常に一般の曲線上の正値性を終点へ運ぶ。$\kappa(T)>0$なら普通の半豊富随伴のファイバーで低次元の$(P_j)$を使う。$\kappa(T)=0$なら$U\sim_{\mathbb Q}0$となり、Calabi–Yau対上の最大nef次元の場合へ帰着する。使うMMP入力は停止する選択の存在であり、任意のflip列の停止を要求していない。

Lemma 3.2 · pp. 6–7

Propositions 3.3–3.4 · p. 8

[OpenAI26c, Theorem 1.1; §3.3, pp. 2, 14–15]

[OpenAI26LA, Theorem 1.1, p. 2]

2. 正部分を数値的に半豊富にし、元のXへ戻す

$(P_n)$と低次元の$(Z_j)$からProposition 8.1を得る。主定理の$D$はnefなので、任意の滑らかな双有理モデルについて$P_\sigma(w^*D)=w^*D$である。そこで半豊富な$A_W\equiv w^*D$を取る。分母とnumerically trivialな線束の離散部分のtorsionを消すと、

klt特異点はrational singularitiesなので、$\operatorname{Pic}^0(X)\simeq\operatorname{Pic}^0(W)$により$P_W=w^*P_X$となる。右辺は$X$上の線束の引戻しであり、$w_*\mathcal O_W=\mathcal O_X$と射影公式で大域生成性を下降させる。得られる因子は$rD$を$P_X$で捻ったものなので、ここでも保証されるのは数値同値である。

Proposition 8.1 · p. 30

Lemma 8.4 · p. 35

[LP18, Lemma 2.14, p. 12]

3. 任意の標数0の代数閉体へ移す

多様体・境界・Cartierデータを有限生成体へ下降し、その代数閉包$k_0$を$\mathbb C$へ埋め込む。複素数上の結論から、ある整数$r>0$と$P\in\operatorname{Pic}^0(X_{\mathbb C})$について$\mathcal O(rD)\otimes P$が大域生成となる。Picard多様体上のPoincaré族を用いると、固定した$r$に対する大域生成性のパラメータ集合はconstructibleである。その非空性は代数閉体拡大で反映されるため、$k_0$上の点を取り、元の$k$へ拡大できる。非常に一般の点を使う議論自体を任意の基礎体へ移す必要はない。

Lemma 8.5; §8.7 · pp. 35–36

1. 正の整数次数を、一様に有界な曲線次数と衝突させる

$L$がbigでないと仮定し、ample Cartier因子$A$を固定する。$t\downarrow0$に対し

と規格化する。非常に一般の点を通る曲線は$L\cdot C\ge1$を満たすので$P\cdot C\ge r$となる。他方、Lemma 4.1は、nef testing classの体積と随伴交点比が有界な状況で、一様に有界な次数の曲線を作る。ここでBirkar–Zhangの入力に渡す境界は被約SNC、nef因子はCartier指数1、随伴はbigである。低次元で必要なbig性は$(P_j)$が供給する。

Lemma 4.1 · pp. 9–10

[BZ15, Theorem 1.3, p. 3]

2. moving kernelの基底成分を排除して二つの評価を得る

scalar側では、消滅次数が大きすぎる切断からmoving base componentを作り、その体積・標準交点評価をLemma 4.1へ渡す。これにより非常に一般の$x$で$0\ne s\in H^0(X,kP)$に対し$\operatorname{ord}_x(s)\le4k(P^n)^{1/n}$を得る。

二変数側では

を使う。$q$を先に固定し、$t$を小さくする。sliceの正次元ファイバー、低次元成分、動く分岐因子を順に排除し、最後に両因子へ支配的な有限対応を扱う。分岐因子が動かないことから、固定した$t$ごとに有限個のStein被覆へ帰着する。固定被覆間の支配的な双有理グラフ族をアーベル多様体の双有理モデルへ移して、最後もbounded-degree曲線と矛盾させる。こうして二つのaxisの外に$\varepsilon(R;z)>2n+2$を満たす点ができる。有限被覆のリスト自体が$t$に一様とは主張していない。

Lemma 5.2 · p. 14

Proposition 5.3 · p. 15

§§5.4–5.6 · pp. 16–20

[OpenAI26LA, Lemmas 7.1–7.5, pp. 45–52]

3. 全データを複素数上で固定してからFrobenius比較を使う

解消$w:W\to X$上で$D=w^*P$、$S=w^*L$と置き、$w^*P$を小さくample摂動して$H$を作る。$K_W$のpseudo-effectivityから余接束のgeneric semipositivityを得て、比較に必要なflagを取る。二変数側のSeshadri評価は有限個の切断による$(2n+2)k_0$次jetsへ変換する。一方scalar評価は点のblowup上で$\pi_x^*(2D+E)-40\epsilon J$がpseudo-effectiveでないことを意味する。可動曲線との双対性により、固定した一つのstrongly movable curveが比較定理の全weight不等式を与える。

Theorem 6.1は、これらの固定データが共存できないことを、Frobenius evaluationの行列式の消滅次数の上下評価で示す。従って非bigの仮定が矛盾する。原稿は比較定理を再証明しているが、この概説の照合対象は定理の記述と§6.7での適用である。§§6.2–6.6の全slope・行列式計算、§5.6で使うHanamura/Blancの外部原典、flagへの制限定理は独立に検証していない。

§6.7 · pp. 27–28

[CP15, Theorem 2.1, 誌面 p. 844 / PDF p. 11]

[BDPP13, Theorem 2.2, p. 6]

[OpenAI26LA, Theorem 9.1, p. 62]

1. 境界零の場合をTheorem 5.1へ移す

主定理の全体の帰着により、$K_X+B\equiv0$かつ$M$が最大nef次元を持つ場合に集中できる。$B=0$ならlog abundanceによって$K_X\sim_{\mathbb Q}0$となる。指数1被覆はkltかつcanonicalであり、crepant terminalization後には$K\sim0$でterminalかつ$\mathbb Q$-factorialとなる。引戻した$M$のCartier倍にTheorem 5.1を適用し、generically finiteな引戻しで検出できるbig性を下降させる。

[BCHM10, Corollary 1.4.3, p. 10]

2. 境界を少し増やし、M自身を通常の随伴にする

$B\ne0$では$T_*:=K_X+(1+\alpha)B\sim_{\mathbb Q}\alpha B$を考える。$\kappa(T_*)>0$ならProposition 3.3、零なら二段階MMPの終点で$B_Y=0$となることと直前の境界零の場合から、$T_*+M$がbigになる。ここでまだProposition 7.1自身を使っていない点が帰納の要所である。

有効な$G\sim_{\mathbb Q}\alpha B+M$を取り、十分小さい有理数$u>0$について

とする。$(X,\Delta_u)$は通常のklt対である。この随伴はnefなのでlog abundanceが適用でき、今度は$M$自身が半豊富になる。最大nef次元からその射はgenerically finiteとなり、$M$はbigである。最後にProposition 3.4の正の線形結合の議論が、任意の$c>0$に対する$T+cM$のbig性を返す。この途中の強い結論は、この帰着で構成した通常随伴の状況に限られる。

§7 · pp. 29–30

[OpenAI26LA, Theorem 1.1, p. 2]

1. nef因子に自明なMMPで場合分けを準備する

$L=m_0M$をCartierにし、$m>2n$を取る。$(T+mL)$-負の半直線で$L\cdot C>0$なら、整数性と通常の半直線長の評価により$(T+mL)\cdot C\ge m-2n>0$となって矛盾する。従って選んだ停止するMMPは$L$-自明で、$T$-負でもある。終点で$T+mL$はnef、$M$の変換もnefである。

これが最大nef次元なら$(P_n)$から$T+M$がbigとなる。$T+M\sim_{\mathbb Q}A+G$を用いて、正の有理倍$(1+v)(T+M)$を通常のbig klt随伴として表す。そのgood minimal model上の半豊富随伴の引戻しが正部分となる。

Lemma 8.3 · pp. 31–32

§§8.3–8.4 · pp. 32–33

2. 低次元の底上の通常随伴とnef因子へ帰着する

nef dimensionが小さい場合、nef reductionの非常に一般のコンパクトファイバー$F$では$T|_F$がpseudo-effective、$M|_F$がnefで、$(T+mL)|_F\equiv0$である。この符号により両者は数値的に零となり、通常のlog abundanceから$K_F+B|_F\sim_{\mathbb Q}0$を得る。

nef因子の双有理下降により、解消後の$f:X_1\to Z_1$に対し$p^*M\equiv f^*M_1$、$M_1$ nefとなる。ここは数値同値である。$K_{X_1}+B_1=p^*T+E$（$E\ge0$は$p$-例外的）とすると一般ファイバーのIitaka次元は零。相対log canonical ringの有限生成と、非常に一般のファイバーのgood minimal modelを入力して相対good modelを作る。そのsemiample fibration $g:X_2\to Z_2$では

Ambroの結果をこの通常klt随伴のQ線形同値に適用し、有効klt境界$B_{Z_2}$を持つ$K_{Z_2}+B_{Z_2}$へ置き換える。元の普通随伴のpseudo-effectivityとgood modelによる切断を下降すると、底の随伴もpseudo-effectiveになる。従って底の$(Z_{\dim Z_2})$が使える。

[LP18, Lemma 3.1, p. 13]

[Fuj09b, Theorem 1.4, p. 2]

[HX11, Theorem 2.12, p. 12]

[HX11, Corollary 2.9, p. 9]

[Amb03, Theorem 0.2, p. 2]

§8.5 · pp. 33–34

3. 正部分の比較で元のモデルに戻る

低次元で得た正部分は数値的に半豊富なのでnefである。nefな正部分の引戻し公式、有効例外因子を足しても正部分が変わらないこと、正部分の有理性・数値的半豊富性が元の因子の数値類だけで決まることを順に使う。これにより数値的な$M$の下降と、Q線形な通常随伴の公式を同じ比較に入れられる。$X_2$上から相対MMPを戻し、最後に$p$-例外的な$E$を除いて$w^*(T+M)$の正部分を得る。これが$(P_n)$と低次元の$(Z_j)$から$(Z_n)$への帰納段階である。

Lemma 8.2 · p. 31

[LP18, Lemmas 2.4–2.5, pp. 7–8]

1. 主定理の入力を確認する

$K_X+B\equiv0$なら普通随伴はpseudo-effectiveであり、任意のnef $M$に対して$D=K_X+B+M\equiv M$もnefである。Theorem 1.1が与える半豊富因子$L\equiv D$は$M$にも数値同値となる。数値類を置き換えた結論であり、非torsionなnumerically trivial線束の切断を新たに作る主張ではない。

Corollary 1.2 · p. 2