Minimal models and Mori fibre spaces for generalized log canonical Q-pairs

1. 局所指標を大域の停止へ渡す

局所入力Theorem 3.1は、固定次元$n\ge2$のGorenstein klt germ $(V_i,o_i)$、$o_i$を固定する巡回群$G_i$、semi-invariantなcanonical generator $\theta_i$と任意の$\gamma_i\in G_i$に対して、部分列上で中心$o_i$のdivisorial valuation $w'_i$、$C>0$、正整数$\ell$を与える。$C,\ell$は部分列上で一定で、$A_{\theta_i}(w'_i)\le C$、かつすべての非零な有理semi-invariant $h$に対し

特に不変関数体への制限は整数値である。valuationはprimitiveである必要はない。この入力の構成では、coneの独立な次数$d_1,\dots,d_n$に対する$\operatorname{vol}(v)d_1\cdots d_n\le C$から有限windowの長さを制御する。valuationの最適化と正標数のlogarithmic Cartier選択によりtupleを完成させ、各指標を丸める。原稿はgermと有限個の検査データを固定してから標数を大きく取り、最終の共通整数を選ぶ前に有限回の数値予算を決定している。

Theorem 3.1 · p. 8 Proposition 5.1; Lemma 6.1; Section 8 · pp. 22, 29–30, 39–44

完成tupleに対する合同式だけでは不十分である。§8.3では、任意の正則固有関数$h$に対して$h^jf^\alpha$を有限windowへ入れる。関数の個数がwindowの長さを超えるので、同一指標かつ同一の最低valuation値をもつ項が相殺する。Gauss性から異なる$h$の冪$j\ne j'$が必要となり、$1\le|j-j'|\le D_{\rm fin}$で合同式の誤差を消せる。$\ell=\operatorname{lcm}(1,\dots,D_{\rm fin})$を一度選べば全$h$に通用する。有理関数は分母の群軌道の積で不変な正則分母を作って処理する。これが後でcanonical formの比に使える強さである。

Section 8.3, (8.16)–(8.20) · pp. 44–45

2. 相対化してgeneralized MMPへ渡す

Proposition 3.3は、滑らかな複素準射影$X$が正規準射影$Z$上射影で$K_X$が相対擬有効なら、$p^*K_X\equiv_Z P+N$という有理Cartier部分をもつNQC弱Zariski分解を作る。ここで得るのは相対数値同値である。

そのために射をコンパクト化し、底の十分正の二重被覆を用いて、滑らかな射影被覆$X^\sharp$の$K_{X^\sharp}$を擬有効にする。一般ファイバーの非uniruled性と、general typeにした底の非uniruled性を経由する箇所でBDPPを使う。Proposition 3.2で得た分解を被覆のinvolutionで平均し、finite normによって$\mathbb Q$-Cartier性を保って商へ降ろす。底からのtwistは$Z$上数値的に0なので消える。

Proposition 3.3 · pp. 13–14 [BDPP13, Theorem 0.2; Corollary 0.3, p. 2]

相対smooth WZDと低次元からの帰納法にTX24 Theorem 5.2を適用してsmooth minimal modelsを得る。次にTheorem 5.4でNQC generalized lc pairsへ渡し、Theorem 2.7でBirkar–Shokurovの意味の存在へ翻訳する。本稿の有理nef Cartier b-dataはNQCなので仮定を満たす。擬有効でない場合には、この存在入力は不要である。どちらの場合も小さい一般係数をもつ十分正のample因子$A$を選び、$(X,B+A+M)$のgeneralized lc性と$D+A$のnef性を確保してTheorem 4.2へ入れると、元の$X$からの停止するMMPを得る。

Section 3.3 · p. 14 [TX24, Theorems 5.2, 5.4, p. 24] [TX24, Theorem 2.7, p. 9] [TX24, Theorem 4.2, p. 22]

3. 抽出なし・discrepancy・Mori fibreの全条件

各双有理段階の共通解消で$F=p^*D-q^*D^+$と置く。$F$は$q$-exceptionalかつ$q$上anti-nefなのでnegativityにより$F\ge0$。その段階で縮約される素因子の係数が0なら、その一般点を通る縮約曲線で有効性による非負交点と$D$の負交点が衝突する。同じnef b-divisorを引き戻しているのでnef部分は比較式で相殺され、$F$の係数はlog discrepancyの増分そのものとなる。合成で全素因子に非減少、元の縮約素因子に狭義増加を得る。各positive modelのsmallnessは逆写像による抽出を排除し、generalized lc性も保たれる。

fibre型終点では、連結性・次元低下・相対反豊富性はextremal contractionから得る。非$\mathbb Q$-factorialの場合の$\rho(Y/T)=1$は別途確認する。縮約ray上で次数0のCartier因子$L$に対し、小さい一般係数の$A\sim_{\mathbb Q} L+h^*H-D_Y$を加える。新adjointはnefなのでTX24 Theorem 5.26のMMPには負のstepがなく、元の$Y$上で相対semiampleである。数値的に自明なsemiample因子の射は各連結ファイバーを点に送るため、$L$は数値的に底から来る。縮約rayのannihilatorがちょうど$h^*N^1(T)_{\mathbb R}$となり、codimension 1を得る。この補助的なsemiamplenessは、元の$D_Y$のsemiamplenessを意味しない。

Section 3.3, (3.17)–(3.18) · pp. 15–16 [TX24, Theorem 5.26, p. 32]

有効exceptional pullback差は擬有効性を双方向に保存する。nef終点なら元の$D$は擬有効であり、擬有効の$D$からは一般正次元ファイバー上anti-ampleな終点へ行けない。これでTheorem 1.1の二つの場合分けが一致する。

4. 基礎体を降下する

Proposition 3.4では、対・nef data・それを担うlog resolutionを可算代数閉部分体$F\subset k$へ降ろし、$F\hookrightarrow\mathbb C$の上で有限のMMPを取る。縮約を定めるline bundleと生成切断をspreadして$F$-点に特殊化し、縮約曲線が同じことからStein targetを同定する。positive modelは適切な$b$に対する$\operatorname{Proj}_T\bigoplus_{m\ge0}f_*\mathcal O_S(mbD)$から復元する。divisorial sheaf、有限生成、relative Projが降下することを確認し、$k$へ拡大する。nef性、相対Picard数、相対ample性と有効なpullback差が保持され、全主張を得る。

Proposition 3.4 · pp. 16–17

1. 一様なideal評価

次元0,1では結論は直接従うので、次元2以上で無限のMMPを仮定する。divisorial contractionは有限回なので、最後はflipの列となる。正のscaling値が0へ近づかなければ、固定したklt境界の有理polytopeに対するample modelの有限性に反する。ここでBCHMの仮定である共通ample部分とklt性を、小さな有理摂動を一つのlog resolution上で選んで確保する。

[BCHM10, Corollary 1.1.5, p. 7]

$A_i(u)=A_{X_i}(u)$、$E_i(u)=A_i(u)-A_X(u)$、$\Delta_i(u)=A_{i+1}(u)-A_i(u)$と置く。$L_t=K_X+tH$のasymptotic multiplier ideal $\mathcal J_s(t)$を十分正にtwistすると、$t\downarrow0$で一様に大域生成となる。固定有限次元空間の部分空間が安定するのでidealも安定し、$\mathcal J_s$を得る。これはidealの降鎖条件による議論ではない。subadditivityとvaluation評価から、$i$が$s$に対して十分大きいとき、すべてのdivisorial $u$について

Section 3.1, (3.4)–(3.8) · pp. 9–10 [DEL00, Corollary 1.5; Theorem 1.8; Variants 2.4–2.5, pp. 7–8, 12]

2. 可算性とcanonical index

整数値で$A_X(u)$が有界なvaluation列について、$E_i(u)$の有限極限は固定の可算集合に入る。原稿は$X$と可算個のidealが定義される可算代数閉体へ降ろし、対角部分列の極限valuationを取る。中心の余次元が2以上であるたびにblow-upするとJacobian値が少なくとも1増え、有界discrepancyと矛盾するため、極限は自明またはdivisorialとなる。

canonical indexが非有界なら、各点の巡回index-one cover上でcanonical generatorの指標を任意の$\alpha\in\mathbb R/\mathbb Z$へ近づけられる。Theorem 3.1の$w'_i$を下へ制限すると整数値かつ有界discrepancyであり、canonical formの比に対する合同式から$E_i(u_i)$の極限の剰余は$\ell\alpha$となる。しかし可算集合の正整数倍写像による逆像の可算和は可算であり、任意の$\alpha$を収容できない。従って一つの$R>0$で全$RK_{X_i}$がCartierとなる。

Section 3.1, (3.9)–(3.11) · pp. 11–12

3. Cartier指数を固定して負の曲線と矛盾させる

遅いflip $f_i:X_i\to Z_i$に対し、上の$\Delta_i$評価とrelative Kawamata–Viehweg vanishingを組み合わせると、各固定$m>0$について$R^kf_{i*}\mathcal O_{X_i}(mK_{X_i})=0$（$k>0$）となる。共通解消上で丸める係数は$A_i-1-(m-1)\Delta_i>-1$となり、必要なpushforwardを$\mathcal O(mK_{X_i})$と同定できる。消滅の成立時点を$m$によらず一度に選ぶとは主張しない。

$J$を$Z_i$上で十分ampleに取り$D_i=-RK_{X_i}+f_i^*J$と$D_i-K_{X_i}$をampleにする。Fujinoのeffective base point free theoremを$a=1$で適用すると、次元だけによる$N$で$ND_i$が大域生成になる。この$N$を先に固定し、有限個の$m=R+jNR$（$1\le j\le n$）すべてで上の消滅が使える段階を選ぶ。regularityから$RK_{X_i}+a f_i^*J$が大域生成となる一方、$f_i$で縮約される曲線との交点は負である。矛盾により停止し、擬有効性がfibre型の終点を排除する。

Section 3.1, (3.12)–(3.14) · pp. 12–13 [Fuj09a, Theorem 1.1; Remark 1.2, 誌面 p. 475 / PDF p. 1]

1. 通常のdiscrepancyと終点へ戻す

通常のlc対に固定された零のnef b-divisorを付けると、generalized discrepancyのcrepant式は通常のものになる。従ってTheorem 1.1の抽出なし、非減少と狭義性、擬有効ならnef、非擬有効ならMori fibreという全結論がそのまま残る。ここでは数値同値な別因子を選んだのではなく、nef dataそのものを0にしている。

Corollary 1.2 · p. 2

2. Log abundanceとの接続を分ける

通常の擬有効の場合に限り、得られた$(Y,B_Y)$へ別原稿Log abundanceのTheorem 1.1を適用すると、同じ終点の$K_Y+B_Y$はsemiampleとなる。これは本稿主定理後の追加帰結である。非零のgeneralized nef dataに対するsemiamplenessは導かない。

逆向きには、Log abundanceのCorollary 12.1(i)の証明が本稿Corollary 1.2を使い、共通解消の有効exceptional差から全rounded degreeの切断を同定し、lc log canonical ringの有限生成へ進む。この接続はLog abundanceの主定理そのものの入力とは区別する。

[OpenAI26LA, Theorem 1.1, p. 2] [OpenAI26LA, Corollary 12.1(i), proof and (67), p. 76]