Fourfold nonvanishing by minimal metrics and moving jets

1. 固定した極小反例の曲線次数を使う

Proposition 2.1は反例を固定した射影的 $\mathbb Q$-factorial terminal四次元 $Y$ に移し、$K=K_Y$ をnef、$\kappa(K)=-\infty$、$K^4=0$、$q(Y)=0$、nef dimension $n(K)=4$ とする。固定Cartier指数 $\iota$ により、非常に一般の点を通るすべての曲線で $K\cdot C\geq1/\iota$。このnef dimensionは数値次元 $\nu(K)$ とは別である。Proposition 2.2は三次元以下のabundanceを使い、その点を通る真の正次元部分多様体をgeneral typeにする。

Propositions 2.1–2.2 · pp. 5–7

2. 有界体積と発散する次数から消滅次数を抑える

固定した小さい $\varepsilon>0$ に対し $L_t=r_t(K+tA)$ を選び、$L_t^4\to\varepsilon^4$、$r_t\to\infty$ とする。曲線次数は $L_t\cdot C\geq r_t/\iota\to\infty$ だが体積は有界である。高消滅切断が動くと、LAからのmoving-multiplicity補題は、高次ジェット条件を満たす全切断空間の基底イデアルに通常のイデアル冪の包含を与える。次数と標準交点数の上界を持つgeneral type中心からは有界次数の曲線が得られるため、曲線次数の発散に反する。これがProposition 3.5の全Cartier次数にわたる評価

となる（pp. 10–12）。

§§3.4–3.5; Proposition 3.5 · pp. 10–12

3. sliceと対応を除き、二因子でジェットを生成する

二因子では $S_0=\iota K$ と

を用いる。台がSNCという解析的条件をこの射影束に直接課すのではない。動く基底成分を各因子のsliceへ制限し、真の像、像上の射影束全体、$Y$ 全体上の非軸multisectionをそれぞれ除く（§6.4, pp. 26–29）。最後のmultisectionの場合に、軸との交差が

という符号付き代表を作り、次節のProposition 5.1を使う。両射影が優勢でgenerically finiteとなる残りの対応は、Proposition 6.4で処理する。分岐因子が全体を掃くことを先に除いてから、LA, Lemma 7.5, p. 51で固定開集合上の有限étale被覆を有限個にする。次数の上界だけで被覆の有限性を結論してはいない。Birational automorphism群の議論で得るアーベル多様体から $Y$ への優勢写像は、再び正の標準曲線次数と矛盾する。

Propositions 6.3–6.4; Corollary 6.5 · pp. 23–30

この枝で使う Proposition 5.1 の証明では、計量による制限全射と、三次元 semi-dlt abundance による境界上の非零切断を別々に用意する。

4. 標数を動かす前に有限データを固定する

これによりProposition 6.3の $\epsilon(P;z)>10$、Corollary 6.5の一つの有限な $10k_0$ 次ジェット全射を得る。§7は以後 $t,r_t$ を固定し、解消 $W$、ample摂動 $H$、$\mu_{\min}(\Omega_W^1|_C)\geq0$ の完全交叉旗、点のblowup上の具体的なstrongly movable曲線 $\gamma$ を選ぶ。必要な数値条件は

さらに $J_x\gamma>0$ および

を満たす。曲線は一つの固定双有理モデル上のample完全交叉の押し出しとして選ぶ。数値錐の特殊化を仮定せず、還元後の有効因子にも交点評価を使うためである。

Theorem 7.1; §§7.1–7.2 · pp. 31–33

5. 同じ行列式の上下界を比較する

Theorem 7.1はLA, Theorem 9.1, p. 62の再記述であり、これらの固定データの共存を否定する。§7.3の比較では標数 $p$ で一般点の階数は $R=p^8$、対角上は $R/4$ 未満となる。非零行列式 $\sigma$ の二つの因子束を $\gamma$ で評価すると

となり、大きな $p$ で矛盾する。ジェットを評価する点 $z_*$ とこの対角点を定める $x$ は一致を要求されない。有限データをすべて複素数体上で固定してから $p$ を動かす順序が必要である。

§7.3 · pp. 33–34

1. 空でない floorを持つnef境界を作る

bigでないと仮定すると、正の小平次元は一般ファイバーのgeneral type性によってbigを強制するため、$\kappa(K_W+D_W)\leq0$。dlt MMPとCartier指数を保つcrepantな小摂動MMPを経て、$M'\sim_{\mathbb Q}G'$、$\kappa(M')\leq0$ と、nef klt随伴の区間 $M'-uD'$（$0<u\leq\delta$）を得る。$G'$ は $D'$ 上の符号付き因子である。最大の正係数を $a$ とし、小さい $s>0$ で

を作る。$0\leq B\leq D'$、$(Z',B)$ はlc、$N$ はnef、$\mathcal J(Z',B)=\mathcal I_S$ である。

§5; (5.2)–(5.7) · pp. 15–17

2. 端点計量から全floorへの制限全射を得る

$0<b_0<1<b_2$ を固定して解消上の有効SNC境界 $C_i$ を構成する。式(5.9)の端点残余束は

となる。MM, Theorem 1.1が実際の端点束へ零Lelong数計量を与え、MM, Theorem 1.2と局所消滅が

を与える。従って十分大きく可除な $m$ で $H^0(Z',mN)\to H^0(S,mN|_S)$ は全射である。

(5.9)–(5.10) · p. 18 · MM, Theorems 1.1–1.2 · pp. 1–2

3. 全floor上の非零切断を降ろして持ち上げる

非零切断は別途作る。dlt blowupの全floor $T$ に随伴し、三次元semi-dlt abundanceを適用する。式(5.12)の局所消滅と $g_*\mathcal O_T=\mathcal O_S$ で、conductor上の一致を含む全体の切断を $S$ へ降ろして持ち上げる。こうして初めて $\kappa(N)=0$ が分かる。

(5.11)–(5.12) · p. 19

4. 非消滅を得た後にklt半豊富性を使う

最後に $N/\alpha\sim_{\mathbb Q}K'+(1-s/\alpha)D'$ へGM, Corollary 5.3, p. 19を適用し、semiampleかつ小平次元0から数値的自明性を得る。$K'$ がpseudo-effective、$D'\ne0$、$1-s/\alpha>0$ なのでample立方との交点は正となり、矛盾する。GMの非消滅仮定を先取りしない順序である。

§5, final klt adjoint · pp. 19–20 · GM, Corollary 5.3 · p. 19

この矛盾で符号付き台を持つ枝を処理し、主証明の slice・対応の排除へ戻る。その後の二因子 jet と Frobenius の比較が滑らかな非消滅を閉じる。

1. 滑らかな非消滅をlc非消滅へ渡す

Hash, Theorem 1.4, p. 2は滑らかな四次元のcanonical nonvanishingから、四次元以下の射影lc対の非消滅を導く。nefな $D$ はpseudo-effectiveなので、元の正規多様体上で $D\sim_{\mathbb R}G\geq0$ を得る。

§8 · pp. 34–35 · Hash, Theorem 1.4 · pp. 1–2

2. 台を保って有理化し、指定指数の分母を払う

Lemma 8.1はこの同値を有限個の主因子と素因子による有理係数線形系へ書き直し、零係数を固定して正係数を保つ有理解を取る。従って同じ台を持つ $G_{\mathbb Q}\geq0$ に対し $D\sim_{\mathbb Q}G_{\mathbb Q}$。係数の分母と指定済みの $r$ を同時に払えば、元の $X$ 上に $mrD$ の切断が得られる。$\mathbb Q$-factorial化したモデル上だけの結論ではない。

Lemma 8.1; Corollary 1.2 proof · pp. 34–35