Every complex K3 surface is Oka

1. 有理方向なし：全周期領域の開集合へ運ぶ

Proposition 7.1は全period domain $\mathcal D$の非空開集合$\mathcal O$を構成し、そこに属する周期の曲面では全点に$L$が成り立つとする。出発点は二つのquadricの退化$Q_+Q_-=\alpha G$である。各成分の有理pencilとneckの座標から有限個のraw chartを選び、Theorem 6.1で長さに依存しない正の横幅を持つstripへ貼る。recentring後も使えるコンパクト領域で位置と横断相手を制御し、残る点は境界上の良い点から$L$を伝播する。

この構成を非偏極の局所変形でやり直す点が必要である。特定の射影族の中だけで開いていても$\mathcal D$の開集合にはならない。有限atlasの余裕を保つ変形とlocal Torelliが全周期領域での開性を与える。$r=0$ならLemma 9.1(1)によって整数等長変換の軌道が$\mathcal O$と交わる。

Proposition 7.1; §§7.3–7.4 · pp. 37–44 · Lemma 6.4 · pp. 36–37 · Lectures on K3 surfaces [K3] · Chapter 6, Proposition 2.8 · p. 107 · Lemma 9.1 · pp. 51–52

2. 有理方向が一つ：固定vの相対開集合が必要

$P\cap\Lambda_{\mathbb Q}=\mathbb Qv$、$v\in\Lambda$をprimitiveかつ正とする。Theorem 8.1は$\mathcal D_v=\{P:v\in P\}$の非空相対開集合$\mathcal O_v$を作る。Lemma 8.2の中心は$j=0$のisotrivial genus-one fibrationで、fiber class $e$は$(e,v)=0$を満たす。変形上で$[\operatorname{Im}\sigma]=v$と正規化し、円周値のactionを使って特異fiberを避けるsafe cycleを選ぶ。このactionの制御が、反復的なrecentring後の中心を使用可能な領域に保つ。

二つの独立なcycleから得る葉のgermが一致すれば、二つの周期を持つgraphがcompact holomorphic torusを作り、その類が$me$になる。$(\sigma,e)\ne0$の変形ではこれは不可能である。二葉がある点で接していても、葉に沿って横断する位置へ移り、Proposition 2.2のdisplaced-pointの場合を使う。例外点の除去まで行って全点$L$を得る。Lemma 9.1(2)が、$v$を固定する整数等長変換の軌道と$\mathcal O_v$の交わりを保証する。

Theorem 8.1; Lemmas 8.2–8.5 · pp. 44–50 · Definition 2.1; Proposition 2.2 · pp. 5–9 · Proposition 2.9; Corollary 2.10 · pp. 10–12 · Lemma 9.1 · pp. 51–52

3. 有理平面：射影的K3上の二つの曲線族を使う

$r=2$なら$P^\perp$は符号$(1,19)$の有理空間なので、正の有理ベクトルを含む。整数倍すれば正の整$(1,1)$類が得られ、射影性判定を適用できる。Proposition 5.1はこの場合の全点$L$を与える。

その構成で使うのはChen–GounelasのTheorem Aを$g=1$に適用した曲線族である。自己交点の非有界性とHodge indexから固定ample類に関する次数が非有界となり、異なる次数の二族を選べる。正規化族の評価写像はある開集合上で有限étaleになり、二族の葉が一般に同じなら対応するintegral curveも同じになって次数の違いに矛盾する。properなgenus-one fiber上の正則ベクトル場はcompleteなので、局所sectionをそのflowで動かして二方向のstripを作る。第二の評価写像の逆枝は初期値の持ち上げにだけ使い、その後のflowはproper fiber全体で定義する。残る代数的例外集合はCorollary 2.10で越える。

Lectures on K3 surfaces [K3] · §1.3.3, footnote 9 · p. 16 · Curves of maximal moduli [CG] · Theorem A · pp. 1–2 · Proposition 5.1; Lemmas 5.2–5.4 · pp. 28–31

4. Torelli移送と任意次元のCAPへの合流

前二場合では軌道上の周期へmarkingを変え、global Torelliによって元の曲面と同型な曲面に$L$を得る。Kähler chamberの違いには周期を固定する符号変更・root reflectionを介在させる。これは良い周期の集合が単に稠密であることからの極限議論ではない。各軌道を、その型に適した開集合と実際に交差させる議論である。

Lemma 9.1のRatner適用は正の平面の点ごとの固定群$\mathrm{SO}_0(1,19)$から始める。コンパクト回転因子を含む群にそのままunipotent生成を仮定しない。Verbitskyのerratumを踏まえ、中間軌道の有理方向を区別する。編集側は本稿の群論的帰着を読んだが、Ratner・Borelの入力証明までは検証していない。

全場合で$L$を全点に得た後、Theorem 3.1が任意$m$の任意コンパクト凸集合に対するCAPを与える。K3のコンパクト性は標的距離の完備性と距離の一様同値性を供給し、Theorem 1.1の指定されたHermitian距離での結論に戻る。

Lectures on K3 surfaces [K3] · Chapter 7, Theorem 5.3 · p. 135 · Ergodic structures: erratum [VE] · Theorem 2.5 · p. 5 · Lemma 9.1 · pp. 51–52 · Proof of Theorem 1.1 · p. 52

1. 完全な二方向をパラメータ付きの局所操作へ変える

Proposition 2.2のstripは$\sigma_1:\mathbb C\times\Delta_b\to Y$と$\sigma_2:\Delta_b\times\mathbb C\to Y$であり、必要な点で局所正則同型、共通の短い軸で$\sigma_1(z,0)=\sigma_2(z,0)$を満たす。二つの方向で別々にscalar approximationを行い、共通軸上の一致によって小さくなる誤差をbounded Cousin splittingと非線形貼合せで消す。これにより一つの源変数だけを長くしても、任意個のpassive holomorphic parameterを残せる。

Proposition 2.9は境界上の有限個のwitness近傍を使って平面discを拡張する。Corollary 2.10は、良い点に境界を持つ二つの傾いたdiscを延ばし、中心に二方向を作る。したがって悪い点がproper analytic subsetに含まれる場合にも$L$を全点へ伝えられる。ここまでに多変数の凸近似を仮定する循環はない。

Definition 2.1; Proposition 2.2 · pp. 5–9 · Proposition 2.9; Corollary 2.10 · pp. 10–12

2. Polydiscを一つの長い変数と薄い横方向へ変える

Lemma 3.3のpolynomial automorphismで、拡張する部分を長い一変数とboundedなpassive変数の形に変える。接合部でpassive方向の像の直径を$O(1/d)$へ小さくし、単一witness近傍に収める。そこで平面拡張を行い、bufferedな開重なり上で元の写像と貼り合わせるのがProposition 3.4である。polydisc exhaustionで誤差を可算和可能に選び、標的距離の完備性からentireな極限を得る。

Lemma 3.3; Proposition 3.4 · pp. 15–19

3. 実面上の誤差から一般の凸集合へ進む

Polydisc近似だけでは任意の凸集合$K$を扱えない。§4は次元に関する帰納法と実polytopeの面を外す操作を組み合わせる。Lemma 4.3は低次元CAPと実パラメータの複素化を用いて面近傍の変形を作る。途中では複素近傍の幅を固定できないため、Lemma 4.4は実interface上のHölder traceを入力とするjump splittingを構成する。Cauchy積分によるjump、分割後のMoreraによる延長、重み付き$L^2\bar\partial$解が、その線形作用素と幅損失に対する評価を供給する。

Lemma 4.5の非線形二次反復で貼り合わせ、有限個の面を順に除いてpolydiscの問題へ運ぶ。ここで§3の近似を使い、元の$K$上で誤差を保つ。これがTheorem 3.1の「すべての次元・すべての凸集合」を閉じる段階である。線形・非線形評価の役割は本文で追ったが、全定数と反復の独立検算は未了である。

Lemmas 4.3–4.5; §4.4 · pp. 21–28

1. Exactnessが横方向の零モードを二次誤差にする

円筒上ではclosedな正則1形式がexactとは限らず、periodが障害となる。$E=(w+u,p+v)$に対してsymplectic条件とexactnessを併用すると、$v$の零Fourier係数は一次の自由なdriftでなく$O(\delta^{-1}e^2)$となる。Lemma 6.2は

と分解する。残る横ではなく水平の零モード$u_0(p)$はshearへ吸収できる。

Lemma 6.2 · pp. 32–33

2. Fourier分解を鎖全体で一様に解く

Lemma 6.3はmean-zero Hamiltonianの正・負Fourier成分を、それぞれ適切な方向のblockへ分配する。$L_j\ge1$による指数減衰が幾何級数を作り、作用素ノルムを鎖の長さ・block数から独立にする。Hamiltonian flowによる座標変更後の誤差は$e_{n+1}\le C\delta_n^{-q}e_n^2$を満たす。$\delta_n=d_0 2^{-n}$を選ぶと、十分小さい初期誤差に対して二次収束が幅損失を上回り、正の横幅が残る。

Lemma 6.3; §6.3 · pp. 33–36

3. 全entire方向と幾何構成への適用条件

補正後のtransitionは横座標$p$を動かさない。高さが両方向へ伸びる鎖を貼ると、universal coverの第1変数が$\mathbb C$全体を覆い、周期1のstrip immersionを得る。小さな座標変更と内側でのCauchy評価が、各元のchartへの近似と有限階導関数の結論を与える。

§§7–8への適用では、raw transitionのperiod defectをLemma 6.4のrecentringで消し、実際の座標とmodel shearを同時に移す。これだけで累積driftが自動的に小さくなるわけではない。§7の有限atlasと§8のsafe actionは、移動する中心が常にbufferedな使用可能領域に残ることを別に確保する。その一様性を含む幾何的評価の完全な検証は初稿の保留事項である。

Theorem 6.1 · pp. 31–32 · Lemma 6.4 · pp. 36–37 · Proposition 7.1; §§7.3–7.4 · pp. 37–44 · Theorem 8.1; Lemmas 8.2–8.5 · pp. 44–50

1. 非零の一次jetを一つの連続写像へ組み込む

CAPからOka性、さらにOka-1性へ進む。Corollary 10.1の入力は、開Riemann面$R$、コンパクトRunge集合$K$、閉離散集合$A=\{a_j\}$、各点ごとの整数$k_j\ge1$、$K\cup A$近傍で正則な連続写像$h:R\to S$である。結論は$h$とhomotopicで、$K$上で近似し、各$k_j$-jetを保つ正則写像である。有限・空の補間集合も許す。

$R=\mathbb C$、$a_j=3j$、$x_0=x$、$v_0=v$とし、$j\ge1$では稠密列$x_j$と各点で非零の$v_j$を取る。互いに素な局所有限disc上で値$x_j$・導関数$v_j$を持つ正則germを作る。座標球内のcutoffと$x_j$から共通の基点へのpathによって、これらを一つの連続写像$h$へ延ばす。これが補間定理に必要な位相的入力を満たし、$j=0$で指定値と正確な接ベクトルを保つ。

Runge approximation and Oka [CAP] · Theorem 0.1 · p. 1 · Extending holomorphic mappings [JI] · Proposition 1.2; Corollary 1.3 · 誌面 pp. 734–735 / PDF pp. 3–4 · Oka-1 manifolds [O1] · Definition 1.1; following discussion · p. 2 · Corollary 10.1; proof of Corollary 1.2 · p. 53

2. Immersionと通常位相の稠密性を同時に得る

複素次元が2で、指定した一次導関数がすべて非零なので、Oka-1 manifoldsのCorollary 2.10を使って補間写像をimmersionに選べる。単に点を補間するだけで微分の非消滅が従うわけではない。得られた写像は$f(a_j)=x_j$、$f'(a_j)=v_j$を満たすので、像が稠密列を含み、通常位相で稠密となる。

Oka-1 manifolds [O1] · Corollary 2.10 · p. 7 · Corollary 10.1; proof of Corollary 1.2 · p. 53

3. 射影的な場合のZariski稠密性

射影的$S$のZariski閉集合は通常の複素位相でも閉である。通常稠密な$f(\mathbb C)$を含むproper Zariski閉集合は存在せず、最後の結論が従う。

Corollary 10.1; proof of Corollary 1.2 · p. 53

1. K3からすべてのEnriquesへ

K3はTheorem 1.1とCAP判定でOkaとなる。Enriquesには不分岐正則K3二重被覆があるため、Oka性の被覆による降下を適用できる。この議論はnodalなEnriquesも含み、unnodalという制限を必要としない。

Theorem 1.1 · p. 2 · K3 double structures on Enriques surfaces [EN] · Introduction · p. 1 · Surface flexibility [FL] · Introduction (covering maps) · p. 2

2. Kodaira次元零の残りの種類

極小コンパクト複素曲面で$\kappa=0$の残りはcomplex tori、bielliptic surfaces、Kodaira surfacesである。これらのOka性はSurface flexibilityのIntroductionが整理する既知の入力であり、今回のK3証明で新たに構成する部分ではない。前段のK3・Enriquesと合わせて$\kappa=0$の結論を閉じる。

Surface flexibility [FL] · Theorem 4; Introduction · pp. 3–4 · Corollary 10.2 · p. 54

3. Class VIIでb₂=0：HopfとInoueを分ける

$b_2=0$の場合の列挙はHopfとInoueである。Surface flexibilityのTheorem 4はHopfをOkaとし、Inoueをnot strongly Liouvilleとする。Okaならstrongly Liouvilleなので、後者はOkaでない。負の結論を落とすと「if and only if」は得られない。

Surface flexibility [FL] · Theorem 4; Introduction · pp. 3–4

4. Class VIIでb₂>0：Global Spherical Shellsによる網羅性

極小class VIIの$b_1=1$、$\kappa=-\infty$と$b_2>0$は、公式060のTheorem 1.1の仮定を満たす。そのglobal spherical shellによりKato surfaceへ帰着する。Katoの種類はEnoki、Inoue–Hirzebruch、intermediateであり、Surface flexibilityのTheorem 4はEnokiをOka、後二者をnot strongly Liouville、したがって非Okaとする。060はこの網羅性を補う別論文の入力で、K3主定理の証明には使われない。

Global Spherical Shells [GSS] · Theorem 1.1 · p. 1 · Surface flexibility [FL] · Theorem 4; Introduction · pp. 3–4 · Corollary 10.2 · p. 54

5. 必要十分条件を閉じる

HopfとEnokiの正例が十分性を、Inoue・Inoue–Hirzebruch・intermediateの負例と列挙の網羅性が必要性を与える。よって極小class VIIではOkaであることとHopfまたはEnokiであることが同値になる。原稿は任意のblowupやproperly elliptic surfacesの分類を主張していない。編集側が060で確認したのは主定理の記述とここでの適用条件であり、060の証明自体ではない。

Corollary 10.2 · p. 54

1. 射影的K3の二つの仮定

射影性は系の仮定であり、Oka性はTheorem 1.1から得る。Projective Oka ellipticityのTheorem 1.1を適用すると、曲面全体でdominatingな一つのholomorphic sprayが存在する。各点を支配する別々の$\mathbb C^2$写像を得るstrong dominabilityとは異なる結論である。

Theorem 1.1 · p. 2 · Projective Oka ellipticity [PE] · Theorem 1.1 · p. 1

2. Enriquesの二つの仮定

EnriquesのOka性はCorollary 10.2、射影性はK3 double structures on Enriques surfacesの§2で引用される既知の事実から得る。これで同じ外部定理の両仮定が揃い、すべてのEnriquesに大域的sprayを得る。非射影的K3ではこの射影性の入力がなく、本稿から同じ結論を付け加えない。

Corollary 10.2 · p. 54 · K3 double structures on Enriques surfaces [EN] · §2, Remark 2.1 and proof · pp. 4–5 · Projective Oka ellipticity [PE] · Theorem 1.1 · p. 1