Conditional good minimal models for compact Kähler fourfolds

1. MMPで指定されたnef終点を固定する

Assumption 2.3はTheorem 1.1の(i)–(iii)を満たす終点を与える。任意の負のrayの選択で停止するという前提を使い、以後この終点の実際の随伴線束を保つ。残る(iv)には最初の切断が必要であり、MMPの停止だけでは得られない。

Assumption 2.3 · p. 9; §9.4 · p. 84

2. 非消滅を滑らかなモデルの二つの場合へ帰着する

§3のprojective分岐は、Assumption 2.2からLemma 3.1で対数的Iitaka前提を導き、同じ原稿のTheorem A.2（p.85）を適用する。Appendices A–Iはその条件付きprojective abundanceの証明であり、追加の独立な前提ではない。uniruled分岐はrational quotient、irregular分岐はAlbanese写像と、次元$\leq3$の非消滅を組み合わせる。OuのTheorem 1.1、p.1はsmooth Kählerの場合のnon-unirulednessとcanonical pseudo-effectivityを結ぶ入力である。§3、pp.10–14

これらを除くと、滑らかなnon-uniruled、non-Moishezon四次元 $W$ で $q(W)=0$ に帰着する。$a(W)>0$ をProposition 4.1、$a(W)=0$ をTheorem 9.4で扱う。以下の図と説明はこの二つの分岐を追う。

Proposition 3.5 · pp. 13–14; Proposition 4.1 · p. 14; Theorem 9.4 · pp. 83–84

3. 切断を元の随伴へ戻して最後の前提を使う

$W$ 上のcanonical切断を $Y$ へ押し下げ、有効境界の切断を掛けると、指定したnef対の $J$ に非消滅が得られる。ここで初めてAssumption 2.4の $\kappa(Y,J)\geq0$ という条件が満たされる。同じ実際の $J$ にその前提を適用し、大域生成を得る。

Proposition 3.5 · pp. 13–14; §9.4 · p. 84 · AN, Theorem 1.1 · p. 3

1. twistの切断から実際のcanonical pullbackを作る

$0<a(W)=d<4$では代数的reductionを解消し、射影底$S_0$のvery ample $H$を取る。低次元fiberの非消滅とample twistから、十分大きい全整数$N$について$\kappa(K_W+Nb^*H)\geq0$が先に得られる。各段階のcanonical Cartier indexを$k_i$として$N>5k_i$を選ぶ。$K_{V_i}+NH_i$に負のrayなら局所有理性により$H_i\cdot R_i=0$となり、そのstepは固定したempty-boundary $K$-programのstepでもある。$N$を選び直してもprogramの境界は変わらない。任意選択の停止とAssumption 2.4からtwistがsemiampleとなり、Stein分解で $$ K_V\sim_{\mathbb Q}g^*A_T,\qquad K_M\sim_{\mathbb Q}f^*A+R,\quad R\geq0 $$ を実際の線束の同型として得る。ここで$S\to T$は滑らかな射影解消、$A$は$A_T$の引戻し、$q(S)=0$、$A$はpseudo-effectiveである。Proposition 4.3、pp.15–16

Proposition 4.3 · pp. 15–16

2. 次元1と2の底で非消滅を得る

$d=1$なら$S=\mathbb P^1$。$d=2$では曲線上の$r$重fiber powerにAssumption 2.2を適用する。局所形$t=x^e$と例外因子の係数$h$を先に固定して、底の係数の極を$mrh/e$で抑える。$r\to\infty$により $$ \left(A-K_S+\sum_{P\ {\rm exceptional}}c_PP\right)\cdot H'\geq0 $$ を得る（Lemma 4.4、pp.17–19）。Zariski分解$A=P_0+N_0$の残る場合$P_0^2=0$では$K_S\cdot P_0\leq0$となり、Riemann–Rochと$q(S)=0$から切断が出る。

Lemma 4.4; §4.3 · pp. 17–19

3. genus-one fibreからklt三次元随伴を作る

$d=3$のgeneric fibreはgenus oneである。Hodge line $\mathcal H$について$\mathcal H^{\otimes m}\simeq\mathcal O_S(m(A-K_S))$を得て、$12\mid m$の下で$E_4^{m/4}$と$\Delta_{\rm mod}^{m/12}$を用いる。integration threshold $$ t_P=\min_{E\mapsto P}\frac{1+\operatorname{coeff}_E R} {\operatorname{ord}_E(f^*P)} $$ と二つの節の共通次数$\ell_P$が$\ell_P/m=1-t_P$で一致することを、例外的な底valuationを含むすべての必要なモデル上で示す。一般の線形結合から、元の正規底$T$に有効$\Xi$とklt対$(T,\Xi)$、$K_T+\Xi\sim_{\mathbb Q}A_T$を作る。$K_T$単独の$\mathbb Q$-Cartier性は仮定しない。projective三次元非消滅で得た切断を引き戻す。Lemma 4.5、§4.4、pp.19–23

Lemma 4.5; §4.4 · pp. 19–23

1. reduced boundaryからnef区間と計量を得る

Proposition 7.20（pp.62–65）はreduced boundary $(T_0,G_0)$から非抽出的に$(T,G)$を作り、 $$ A=K_T+G\ {\rm nef},\qquad K_T+tG\ {\rm nef\ and\ klt}\quad(t_0\leq t<1) $$ という区間と、射影的crepant dlt modification $h:(V,D)\to(T,G)$、$J=K_V+D=h^*A$を与える。4次元dlt停止を仮定へ追加するのではなく、§7のspecial terminationとordinary kltプログラムへの帰着を使う。

Lemma 5.1（p.23）のzero-Lelong minimal metricを区間内で適用し、$(1-t)G$を足して$t\to1$とすることで$J$の引戻しにもzero-Lelong metricを得る。

Lemma 5.1の解析的証明は§5内にある。体積で正規化したcapacity評価、Monge–Ampère方程式のパラメータ微分、残差を残したBochner評価を組み合わせる。最後は同じsublevel集合上で残余測度を相殺する式(89)と、固定$t$での極限後のLelong上界(90)を、正の下界(93)と衝突させる。pp.25–33 先のprojective論文MMの定理をそのまま非projectiveの場合へ適用しているのではない。

Proposition 7.20 · pp. 62–65; Lemma 5.1; (89)–(93) · pp. 23–33

2. 正規化成分の切断をcluster内で合わせる

Proposition 8.1（pp.65–81）は$D\ne0$なら$H^0(D,\mathcal O_D(mJ))\ne0$を与える。正規化した各成分のdifferentは分数係数も保持し、Das–Ou Corollary 1.3、p.4でsemiample系を作る。しかし成分ごとのabundanceだけでは貼り合わない。系の像の次元が最大の成分を選び、dominant conductorのcluster上で偶数留数を合わせ、nondominant branchesでは消える節を作る。有限のloop作用の下で運ばれる節をすべて掛けるLemma 8.4が、非零性と所要の消滅を保存する。

Proposition 8.1; Lemmas 8.3–8.4 · pp. 65–72 · DO, Corollary 1.3 · p. 4

3. 一つのambient Kähler類で閉路を制御する

非projectiveのtorsion clusterでは、原空間$V$の一つのKähler類を各surfaceへ運ぶ。閉路の自己同型$\varphi$と正の平方を持つ類$v$について $\varphi^*v-v\in\operatorname{NS}(Q)_{\mathbb R}$を得る。Hodge indexと整格子の作用によりtop formの倍率がroot of unityとなり、共通冪で留数を合わせられる。これは任意のKähler surface自己同型の指標を無条件に有限とする議論ではない。Lemma 8.9、pp.73–74 最後に他のclusterを零とし、$S_2$とcodimension-oneの照合で$D$全体へ降ろす。Lemma 8.2；§8.6、pp.66–67,81

Lemma 8.9 · pp. 73–74; §8.6 · p. 81

4. 反証仮定から延長障害を消す

ここでは$a=q=0$の滑らかなモデルを使う。Lemma 9.1（p.81）はprime divisorの有限性とそのcohomology類の実線形独立性を示す。$\kappa(M,L)=-\infty$なら、任意の固定vector bundle $\mathcal E$について $H^0(M,\mathcal E\otimes\mathcal O_M(mL))=0$が大きい可除次数$m$で成立する（Lemma 9.2、pp.81–82）。証明は最大generic rankの切断のdeterminantを取り、有限個のprimeに沿う非負整数係数を比較する。global meromorphic frameを最初から仮定しない。

Proposition 9.3では$\kappa(T,A)=-\infty$と仮定して延長障害を消す。$p:M\to V$上で$K_M+F\sim_{\mathbb Q}L=p^*J$と書く。$F$はSNC、係数$\leq1$で負の係数を許す。重要な比較は $$ p_*\mathcal O_M(mL-\lfloor F\rfloor) =\mathcal I_D\otimes\mathcal O_V(mJ), $$ $$ H^1(V,\mathcal I_D(mJ)) \hookrightarrow H^1(M,K_M+L_m),\qquad L_m\sim_{\mathbb Q}(m-1)L+\{F\}. $$ 後者はlow-degree Lerayからの単射であり、高次直接像の消滅は要求しない。

zero-Lelong性と$\{F\}$の係数の積分余裕からmultiplier idealは自明となる。DPSのhard Lefschetz定理は $H^0(M,\Omega_M^3\otimes L_m)\twoheadrightarrow H^1(M,K_M+L_m)$を与える。

左辺をLemma 9.2で消せば、全被約$D$上の非零節の高い冪が$V$へ延長され、反証仮定に矛盾する。式(176)–(179)、pp.82–83

Lemmas 9.1–9.2; Proposition 9.3; (176)–(179) · pp. 81–83 · DPS, Theorem 2.1.1 · arXiv PDF p. 8

1. frameがない場合をprime divisorのないモデルへ移す

Theorem 9.4（pp.83–84）は、非零の有理型pluricanonical tensorが存在するか否かを分ける。存在しない場合、$G_0$に全primeを入れてProposition 7.20を使う。非零$G$なら前節の切断を割り戻して禁止された有理型tensorが得られるため、$G=0$。するとprime divisorがなくnef canonicalを持つモデルが残り、Proposition 6.1がこれを排除する。

Theorem 9.4 · pp. 83–84

2. 微分形式からfoliationと球面構造を作る

Proposition 6.1の証明は、nef canonicalのzero-Lelong metricとDPSから$\chi(\mathcal O_M)=0$、$h^{2,0}\geq1$、$h^{3,0}\geq2$を得る。2-formと3-formからintegrable saturated conormal lineを取り出す。正currentのHodge index比較により$\alpha^2=0$を導き、仮定の下で$\alpha$内のすべての正currentのLelong数が零となることを示す。これによって正current全体のcompact convex集合上の写像が連続になり、固定点がtransverse spherical構造を与える。§6.1–§6.4、pp.34–43

Proposition 6.1; §§6.1–6.4 · pp. 34–43

3. holonomyから非定数有理型関数を得て矛盾させる

index chartsでboundary meridianのholonomyが有限であることを示し、Selbergの有限被覆とcompactificationを経てtorsion-freeな$\operatorname{PU}(2)$表現を得る。Zariski denseの場合はCampana–Claudon–Eyssidieux Theorem 1、p.2のprojective Shafarevich底が$a=0$に反する。proper closureの場合はvirtually solvableであり、全有限étale被覆の$q=0$から像を有限、従って自明にする。developing mapを局所chartとtraceで有理型延長すると非定数関数が生じ、再び$a=0$に反する。§6.5–§6.6、pp.43–47

§§6.5–6.6 · pp. 43–47 · CCE, Theorem 1 · p. 2

4. frameがある場合は負の部分を消して滑らかなモデルへ戻る

有理型frameが存在する場合は$K_{T_0}\sim_{\mathbb Q}P-N$、$P,N\geq0$、台が互いに素と書き、$G_0=(\operatorname{Supp}P)_{\rm red}$を使う。$G=0$ならpseudo-effectivityが$N_T=0$を強制する。$G\ne0$なら前節の切断と$a(T)=0$による有理型divisorの一意性が同じ結論を与える。さらに$(T,0)$のMMPとAssumption 2.4でcanonicalを実際のtorsionにする。解消上の符号付き例外divisorは、正currentのsupportとprime類の独立性から有効と分かり、滑らかなモデルのcanonical nonvanishingへ戻る。式(180)–(181)、p.84

Theorem 9.4; (180)–(181) · p. 84