Canonical ampleness of compact hyperbolic Kähler manifolds

1. 同じ変分を二度使う

中心を固定した有限面積円板上で$J=d+P_q-\delta A_h$を最大化する。面積罰則が達成を保証し、dilation比較が境界正則性を与える。境界で$h$正規直交な正則枠に沿う中心固定変分のHessianを計算する。$h=k,q=R_k,\delta\downarrow0$は全テスト円板のRicci積分を抑え、$q=-h,\delta=1$は$R_h\ge-h$の下で体積形式を下から抑える。

Proposition 3.2; Lemma 3.3 · pp. 6–8 · Proposition 5.2 · pp. 17–18 · Proposition 6.4; Lemma 6.3 · p. 21 · Proposition 7.1 · p. 22

2. nef類を体積評価へ入れる

$\alpha=2\pi c_1(K_X)$とする。nef性により$\alpha+t[k]$は$t>0$でKähler類である。負符号Monge–Ampère方程式を用いて$[h_t]=\alpha+t[k]$かつ$R_{h_t}=-h_t+tk$を満たす計量を得る。一様下界を積分し、コホモロジー上で$t\downarrow0$とすれば$\int_Xc_1(K_X)^n>0$となる。

Monge–Ampère existence [MA] · §1, equation (1.1) · 誌面 pp. 366–367 / PDF pp. 3–4 · Proposition 8.2 · pp. 23–24

3. Morse不等式の前提を作り、射影性を得る

一般のnefな直線束$L$について、$\beta=2\pi c_1(L)$、$\Theta_\varepsilon\ge-\varepsilon k$を取る。負固有値のある集合では

右辺の積分はコホモロジーから$O(\varepsilon)$である。よって$\int_X\beta^n>0$なら、指数が高々1の非退化集合上の積分も正になる。Morse不等式から$L$はbig、$X$はMoishezonとなる。$L=K_X$へ適用し、Kähler性と滑らかさを保ってNamikawaの射影性定理を使う。射影性は出発点の仮定ではない。

Lemma 9.1 · pp. 24–25 · Holomorphic Morse inequalities [HM] · (0.7); Theorem 0.8(a) · 誌面 pp. 193–194 / PDF pp. 6–7 · Theorem 9.2 · p. 25 · Moishezon projectivity [MP] · Theorem 6 · p. 3

4. 有理曲線の不存在からampleと埋込みへ

非定数の$\mathbb P^1\to X$があれば、$\mathbb C$への制限が双曲性に矛盾する。すでに$X$は滑らかな射影多様体で$K_X$はbigなので、Diverio–Trapaniに記録された判定の仮定を満たす。本稿Proposition 9.3は、この判定を次のように錐定理から改めて証明する。

滑らかな非常に豊富な超平面切片$H$を選ぶ。big性による切断増大と、$H$上の弱いMorse不等式による$O(m^{n-1})$評価を制限完全列で比較して、ある$m>0$と有効な$E$に対し$mK_X\sim H+E$を得る。

Holomorphic Morse inequalities [HM] · Theorem 0.1(a) · 誌面 p. 189 / PDF p. 2

十分小さい正有理数$\eta$で$(X,\eta E)$をkltにする。有理曲線がないため、log cone theoremから$N=K_X+\eta E$はnefとなる。従って

はampleとなる。正の有理係数を払えば$K_X$自身がampleであり、十分高い正のテンソル冪が射影埋込みを与える。

Proposition 9.3 · pp. 25–26 · Canonical ampleness criterion [DT] · Lemma 2.1 · p. 3 · Log cone and ampleness criteria [LC] · Theorem 1.1(5) · 誌面 pp. 728–729 / PDF pp. 2–3 · Log cone and ampleness criteria [LC] · §4.4; Theorem 4.10 · 誌面 pp. 737–738 / PDF pp. 11–12 · §9; completion of Theorem 1.1 · pp. 24–26

1. 面積罰則と境界の尾評価

円板の中心微分評価はBrodyの再パラメータ化を本稿Lemma 3.1で実行して得る。最大化列について、外周では$-\delta A_h$が対数重みの項を支配するので、Fatouの補題と内部の正規族収束から最大値が達成される。さらに$f(rz)$との比較により$A_q(f)\ge-d(f)$と$A_k(f)-A_{k,r}(f)\le C_f(1-r)$を得る。局所平均値評価とdyadic annuli上の和により、最大化円板は境界まで連続で$W^{1,p}$、$2<p<4$となる。定数$C_f$の全計量に対する一様性は主張しない。

Proposition 3.2; Lemma 3.3 · pp. 6–8 · Proposition 3.4 · pp. 8–9

2. 形式的な方向を実際の円板族にする

Lemma 4.1はCauchy–Green右逆とOka原理を使い、少し大きい円板上の正則束を自明化する。Proposition 4.2は重み付きHardy空間で枠を正規化し、Toeplitz作用素の回転差分評価を通して境界の$W^{1,p_0}$正則性と非特異性を得る。Proposition 4.3では中心値を引いた右逆$Hg=Tg-(Tg)(0)$を用い、

へ複素Banach陰関数定理を適用する。これにより中心固定と所望の一次変分を同時に保つ。スペクトル因子分解の背景文献を、境界正則性まで自動的に与える定理として扱わない。

Lemma 4.1; Proposition 4.2 · pp. 10–12 · Proposition 4.3 · pp. 13–16 · Cauchy–Green operator [CG] · §4.1 · p. 11 · Oka principle [OK] · Theorem 1.3; §1, example (A) · pp. 1–3 · Banach implicit functions [IF] · Theorem 2.3(ii), (d) · p. 11

3. 弱い境界極限を通す

$p_0/2>1$により、面積・Poisson積分のパラメータ微分を正当化する。閉性を使った局所恒等式は$\mathcal Lq(F_z,F_z)=\partial_z\partial_{\bar z}(|z|^2\operatorname{tr}(B^*qB))$である。$N=B^*hB$に対し、境界で$N=I$なので、適切な半径列に沿って$\partial_r\operatorname{tr}N$を$\partial_r\log\det N$へ置き換えられる。誤差は$W^{1,2}$の半径方向評価で消える。Green公式から三つの恒等式と$\log\det N(0)=P_{R_h}(f)$を得て、最大点で$\mathcal LJ\le0$を適用する。円板が境界を越えて正則に延長することは使わない。

Proposition 5.2 · pp. 17–18 · Lemma 5.1 · p. 17 · Corollary 5.3 · p. 19

1. 極値円板から全テスト円板へ

$h=k,q=R_k$とし、$0<\delta\le1$で最大化する。Corollary 5.3と$A_{R_k}(f)\ge-D$から$\operatorname{tr}N(0)\le n+D+M$、$M=\sup_X|\operatorname{tr}_kR_k|$を得る。行列式恒等式と相加相乗平均により$P_{R_k}(f)$は一様に上から抑えられる。任意の有限面積円板$g$を固定して最大値と比較し、その後に$\delta\downarrow0$とする。最大化円板の面積の一様上界を極限で仮定せず、$P_{R_k}(g)\le C$を得る。

Proposition 6.1 · pp. 19–20 · Corollary 5.3 · p. 19

2. 包絡の斉次性を標準束の計量へ移す

$Y=(\det T^{1,0}X)\setminus0_X$上で$\ell(s)=\log|s|_k^2$と置き、Poisson包絡を$v$とする。射影した円板への前段の評価から$\ell-C\le v\le\ell$であり、Poletsky–Rosay定理の恒等的$-\infty$の場合を除ける。$v(\lambda s)=v(s)+\log|\lambda|^2$より$v-\ell=u\circ\pi$、$-C\le u\le0$となる。局所枠$s_i$に対し$a_i=\log|s_i|_k^2$とすれば$a_i+u$は有界pshである。双対枠のノルムを$|s_i^*|^2=e^{-(a_i+u)}$とすると、曲率は$-R_k+i\partial\bar\partial u\ge0$であり、対象は$K_X$である。

Proposition 6.2 · pp. 20–21 · Poletsky–Rosay envelopes [PR] · Theorem 1.1 · 誌面 p. 1407 / PDF p. 1

3. 連続性を仮定せずに平滑化する

Lemma 6.3は有界ポテンシャルの平滑化を与える。付録Aは、局所pshポテンシャルの球上のsupを固定倍率の半径で比較し、重なりの誤差を$O(1/|\log b|)+O(b)$に抑える。この誤差が小さくなる半径を選び、cutoff補正後の正則化最大値で貼り合わせる。失う曲率は任意に小さくでき、Proposition 6.2へ適用して主張を得る。本稿が併記するDemaillyの正則化定理への別の引用経路は、ここでは追加の照合対象にしていない。

Proposition 6.4; Lemma 6.3 · p. 21 · Appendix A; Lemma A.1 · pp. 27–30

1. 定数円板との比較を使う

$q=-h,\delta=1$の最大化円板を各点で取る。定数円板の値は0なので$P_h(f)+A_h(f)\le d(f)\le D$となる。曲率条件から$P_{R_h}(f),A_{R_h}(f)\ge-D$である。最大化不等式には$\operatorname{tr}_h(-h)=-n$を代入し、$\operatorname{tr}(B(0)^*kB(0))\le2n+D$を得る。

Proposition 7.1 · p. 22 · Corollary 5.3 · p. 19

2. 枠の行列式を消す

Lemma 5.1は$\det(B(0)^*hB(0))=e^{P_{R_h}(f)}\ge e^{-D}$を与える。一方、前段のトレース上界は相加相乗平均で分母の行列式を抑える。比を取ると$|\det B(0)|^2$が消え、

補助円板、枠、変分の大きさは$h$や点に依存してよい。最終定数にはそれらを含めない。

Lemma 5.1 · p. 17 · Proposition 7.1 · p. 22

1. 任意の正の体積形式に対する存在定理

$\alpha=[-R_k]$とし、nef性から$-R_k+i\partial\bar\partial a_t\ge-(t/2)k$を選ぶ。$\gamma_t=-R_k+tk+i\partial\bar\partial a_t>0$へTheorem 8.1を適用し、

を得る。入力の体積形式は$e^{a_t}k^n$でよく、総体積を事前に規格化する必要はない。解の加法定数が右辺に入る。対数を微分すると$R_{h_t}=-h_t+tk\ge-h_t$となる。

Theorem 8.1 · p. 23 · Monge–Ampère existence [MA] · §1, equation (1.1) · 誌面 pp. 366–367 / PDF pp. 3–4 · Proposition 8.2 · pp. 23–24

2. 計量ではなく交点多項式を極限に送る

Proposition 7.1をすべての$t>0$へ同じ定数で適用する。$[h_t]=\alpha+t[k]$より

左辺は$t$の多項式なので、$t=0$で評価して$(2\pi)^n\int_Xc_1(K_X)^n\ge c_{n,D}\int_Xk^n>0$を得る。$h_t$やそのポテンシャルの収束はこの段階の仮定ではない。

Proposition 7.1 · p. 22 · Proposition 8.2 · pp. 23–24

1. 入力定理の仮定を揃える

Theorem 1.1により$X$は滑らかな連結射影多様体で、$K_X$はampleとなる。したがってカタログ038のFujita freenessを$L=K_X$に適用できる。この入力は本稿主定理の証明に遡って使われるものではない。

Theorem 1.1 · p. 1 · Fujita freeness [FF] · Corollary 6.3 · p. 23

2. 全整数への量化を保つ

任意の整数$m\ge n+2$に対し$m-1\ge n+1$なので、038のCorollary 6.3から

の大域生成を得る。最小指数だけを与える主定理ではなく、全指数版の系を入力にする点が必要である。038の記事でその拡張を案内している。

Corollary 10.1 · p. 26 · Fujita freeness [FF] · Corollary 6.3 · p. 23

1. 分類の余分な因子を除く

Theorem 1.1で$X$を射影的にしてから、058のTheorem 1.1を通常の普遍被覆へ適用する。得られる分解は$\widetilde X\simeq D\times\mathbb C^m\times F$で、$F$は単連結・正規・射影的である。積が滑らかなので$F$も滑らかであり、双曲性が被覆と因子へ移るため$m=0$、$F$はBrody双曲となる。ここでは分類定理そのものの証明は入力として区切る。

Corollary 10.2 · pp. 26–27 · Semialgebraic universal covers [SC] · Theorem 1.1 · p. 1

2. 自己同型群の有限性で積作用にする

$\dim F>0$ならTheorem 1.1を$F$へ再適用して$K_F$をampleにする。よって$c_1(F)<0$となり、Kobayashiの定理から$\operatorname{Aut}(F)$は有限である。$F$が点なら同じ有限性は自明。deck変換の$D$成分はコンパクト連結な$F$上で定数であり、逆変換も用いて基底上の自己同型を得る。残る$F$成分は、連結な$D$から有限群への族なので基底に依存しない。$D$が点の場合もこの議論に含む。

Corollary 10.2 · pp. 26–27 · Finite automorphisms [KA] · Theorem · 誌面 p. 184 / PDF p. 1

3. 有限指数の核の作用を確認する

deck群$\Gamma$から$\operatorname{Aut}(F)$への準同型の核を$\Gamma_0$とする。有限指数で、$D$上に忠実かつ自由に作用する。$K\subset D$をコンパクトとすると$K\times F$もコンパクトなので、deck作用の固有不連続性が$D$上へ移り、$\Gamma_0$は離散となる。商は$(D/\Gamma_0)\times F$であり、$X$への被覆は連結・有限・不分岐、したがって射影多様体の有限étale被覆である。そのコンパクト性から$D/\Gamma_0$もコンパクトとなり、余コンパクト性まで得られる。

Corollary 10.2 · pp. 26–27