The Campana–Peternell conjecture in dimension six

1. 既知のPicard数の範囲を切り離す

射影性より$\rho(X)\ge1$。$\rho(X)\ge2$なら$\rho(X)>6-5$なのでKanemitsuの分類が適用できる。原稿はこの枝の収縮やファイバーを改めて分類せず、既知結果を直接入力する。残りは$\rho(X)=1$である。

[Kan16, Theorem 0.2, p. 1]

2. 極小曲線族による擬指数の帰着

最小反標準次数$\iota$の曲線族$V$と普遍族$\pi:U\to V$、評価写像$e:U\to X$を取る。nef性はすべての曲線をfreeにし、次数の最小性は分裂を禁じる。既知の極小族の定理から$U,V$は滑らかで射影的、$\pi$は滑らかな$\mathbb P^1$-fibration、$e$は相対次元$\iota-2$の滑らかな全射で連結ファイバーを持つ。原稿のProposition 2.1は、各$\pi$-ファイバー$C$上で

を示す。写像空間を微分して$H^0(T_U|_C)\to H^0(e^*T_X|_C)$が全射となり、両辺の次元が等しいことから核の$H^0,H^1$が消える。一般の曲線だけでなく全ファイバー上の分裂であることが、後の束の降下に必要になる。

Proposition 2.1 · pp. 5–6 [Kan17, Proposition 1.6, p. 4]

微分$\mathcal O(2)\to\varphi^*T_X$から$\iota\ge2$。$\iota=2$なら$e$が同型になり、$X\to V$の曲線ファイバー上で次数0の非零nef因子が得られ、$\rho(X)=1$に反する。$\iota=3$では有限接写像によりVMRTが1次元となり、Mok–Hwangの分類に現れる次元は2、3、5であって6ではない。$\iota\ge6$なら全有理曲線$B$に$-K_X\cdot B\ge6$が成立し、Dedieu–Höringにより$X\simeq\mathbb P^6$または$Q^6$となる。

Proposition 2.2 · p. 6 [Mok08s, Theorem 15, 誌面 p. 199 / PDF p. 50] [DH17, Theorem 1.3, p. 1]

3. 残る二枝を合流させる

$\iota=4$はProposition 3.1、$\iota=5$はProposition 6.2へ進む。前者は有理等質性、後者は$X\simeq\operatorname{Gr}(2,5)$を与える。擬指数4の議論で最後に残る評価写像が$\mathbb P^2$-fibrationなら、外部のProposition 4.1は$\mathbb P^3$または$\operatorname{LG}(3,6)$まで同定し、六次元では後者となる。この細分は主定理に余分な仮定を加えない。以上で全Picard数・全擬指数の枝が主定理へ接続する。

Proposition 3.1 · pp. 8–10 Proposition 6.2 · pp. 19–20 [Kan17, Proposition 4.1; Remark 4.2, p. 12] §7, proof of Theorem 1.1 · p. 20

1. 分解と相対次数を固定する

Kanemitsuの結果は、有理等質性を与える場合か、$e=g\circ f:U\to W\to X$で$f,g,\pi$が滑らかな$\mathbb P^1$-fibrationとなる場合へ分ける。後者には滑らかな初等Mori収縮$q:W\to Y$があり、$\dim W=7$。$H=c_1(T_X)/4$、$h=g^*H$、$c=c_1(T_g)$、$C$を$\pi$-ファイバーとして$a=c_1(T_f)\cdot C$、$b=c\cdot f(C)$と置く。$T_e|_C=\mathcal O(-1)^{\oplus2}$より$a+b=-2$、$a\le-1$。$c-bh$は$Y$の豊富類の正の倍の引き戻しであり、$g_*c=2$、$g_*c^2=0$から$b\le0$を得る。$b=0$は適切な曲線$D\subset X$上の曲面$g^{-1}(D)$が$q$で2次元像を持つことと交点数0を衝突させて除外し、$a=b=-1$となる。

[Kan17, Theorem 3.3, p. 9] [Kan17, Proposition 4.1; Remark 4.2, p. 12] Lemma 2.3 · p. 7 Proposition 3.1 · pp. 8–10

2. ファイバー候補を二次三次元まで絞る

相対次数$-1$を入力すると$q$のファイバー候補は$\mathbb P^2,Q^3,K(G_2)$となる。$\mathbb P^2$の場合、二つのLeray–Hirsch分解と$Y$のPoincaré双対性が$b_6(X)=b_4(X)-1$を与え、Hard Lefschetzに反する。残る場合には$z=(h+c)/2$が$Y$から降下し、$\dim Y\le4$より$z^5=0$である。

$g$のコホモロジー対合は$z\mapsto h-z$となり、最高次で符号を反転する。偶数指数の関係から$m_1=m_2=5m_4$、$m_3=3m_4$を得る。従って$m_4>0$、$\dim Y=4$となり、$K(G_2)$の枝も消えて$q$は$Q^3$-fibrationとなる。

[Kan17, Remark 2.3, p. 5] Proposition 3.1 · pp. 8–10

3. 直交束の消滅と整数性を衝突させる

Fischer–Grauertで局所自明化し、$\operatorname{Aut}(Q^3)=\operatorname{PGO}_5\simeq\operatorname{SO}_5$を使うと、$W$は行列式自明な階数5の直交束の相対二次超曲面となる。原稿はGAGAで代数化し、随伴公式から$q_*(-K_q)^4=0$を得る。他方$-K_q=3h-\lambda z$で、$g$のファイバーとの次数から$\lambda\in\mathbb Z$。射影公式は

を与え、$m_3=3m_4$から$\lambda=9/4$となって矛盾する。分解の枝が消え、既知の有理等質な場合だけが残る。原稿はWatanabeの同じ擬指数4の結果も挙げるが、ここで説明したのは原稿自身の交点論的な別証明である。

[Poc25, Theorem 1.1 (Fischer–Grauert), p. 1] Proposition 3.1 · pp. 8–10

1. 二つの射から線形関係を取り出す

$\delta=\pi^*\pi_*$とすると、$\pi$の対合は$\bar\alpha=\alpha-c\delta\alpha$、$\delta(\alpha\gamma)=(\delta\alpha)\gamma+\bar\alpha\delta\gamma$を満たす。実際のline bundle $e^*(-K_X)\otimes(T_\pi^*)^{\otimes2}$のファイバー次数は1で、$E$とのテンソル積は全$\pi$-ファイバー上で自明になる。これを降下させると$r,s,t$も$V$から来る。従って$V$から来る重み9の積は消え、$X$から来る重み7以上の類も消える。

さらに$X$の単連結性とDeligneの固定部分の結果を使い、原稿のLemma 4.3は$R^je_*\Omega^p_{U/X}$の自明性を導く。相対GRRを$\mathcal O_U$と$E^*$へ適用すると

これらを同じ重みの多項式に展開したものが$Av=0$である。最後の関係は積分の消滅であり、すべての多項式がコホモロジー類として0だと読み替えない。

Lemma 2.3 · p. 7 Lemmas 4.1–4.2 · pp. 10–11 Lemma 4.3; (4.4) · p. 12 [Del71, Theorem 4.1.1(ii), 誌面 p. 40 / PDF p. 37] [Del71, Corollary 4.1.2, 誌面 p. 42 / PDF p. 39] [BS58, §7, Riemann–Roch theorem, 誌面 p. 113 / PDF p. 18]

2. 射影公式が積の構造を供給する

重み3・4の不変単項式$G_j$の$e_*$は、それぞれ$H^0(X,\mathbb Q)$、$H^2(X,\mathbb Q)=\mathbb Qh_X$に入る。そのため$D=L^3>0$を使い$e_*G_j=D\eta_jh_X^{w_j-3}$と一つの数で記述できる。重み6の底の単項式$M_i$の正規化交点数を$\xi_i$とすると、射影公式は選択座標を共通の正数$D\int_Xh_X^6$で割ったものが$\xi_i\eta_j$に等しいことを示す。線形関係だけでなく、この積の構造が非線形制約の入力となる。

§§4.4–4.5; (4.11)–(4.19) · pp. 13–15

3. 有限体の階数と有理数上の証明を結合する

$N(\xi_i\eta_j)=0$を$\eta_a\eta_b$倍し、同じ三つ組を同一視した座標上の線形空間$K_3$を作る。原稿の有限体$\mathbb F_{10007}$上の計算は6820座標における核次元6を与え、有理数上では$\dim K_3\le6$という上界になる。さらに有理数上で二重スライスの全関係を満たす6本の列を与え、ある小行列式$-16/5\ne0$を確認して基底とする。線形汎関数

はこの基底上で0となる。積座標へ戻して$\xi_0=\eta_0=1$を使えば、$(u-4)(3u-8)=0$が従う。有限体だけで有理恒等式を断定する議論ではない。付録はこの有限計算の実行可能な証明書を与える。

§§5.1–5.3 · pp. 16–18 Appendix A · pp. 22–25

1. 接方向像は全空間を張る

$\mathcal C_x=\tau_x(F)$のアフィン錐が真部分空間$W_x\subset T_xX$を張ると仮定すると、$4\le\dim W_x\le5$。接二重ベクトル$\alpha\wedge v$が$\bigwedge^2W_x$を張らなければ、これらを消す非零交代形式が存在し、錐の4次元接空間は等方的となる。階数の評価から残るのは$\dim W_x=5$、交代形式の階数2だけである。しかし2次元のsymplectic商への錐の像は高々1次元の既約錐、従って直線となり、$W_x$を張ることに反する。よって二重ベクトルは全空間を張る。

Hwang–Mokの一方の命題はこの条件から分布の可積分性を与え、他方は$b_2(X)=1$かつVMRTが線形退化という仮定から非可積分性を与える。この矛盾で$\mathcal C_x\subset\mathbb P^5$の非退化性が従う。VMRTの滑らかさはまだ使わない。

Lemma 6.1 · p. 19 [HM99, Propositions 1.2.1–1.2.2, 誌面 pp. 356–357 / PDF pp. 7–8]

2. 切断種数で次数と接写像の次数を決める

大域生成かつ豊富な$L$の一般の2切断の交わり$B$は、BertiniとKodaira消滅による連結性から滑らかな連結曲線となる。随伴公式と有限射の次数公式は

を与える。$u=4$は負の種数を与えて不可能。$u=8/3$なら$g(B)=1-L^3/3$であり、$L^3=3$、$\deg(\tau_x)=1$、$\deg(\mathcal C_x)=3$となる。

Proposition 6.2 · pp. 19–20 [EGHP06, Theorem 0.1, p. 2]

3. 正規性を通じてSegre像を認識する

最小次数の分類により$\mathcal C_x$は次数3の3次元有理正規scrollで、錐の可能性も残る。原稿はその座標環を重み$(-a_1,-a_2,-a_3,1,1)$の$\mathbb G_m$作用の不変環として表し、正規性を示す。有限双有理な$\tau_x$はそこで初めて同型になり、$F$の滑らかさが像へ移る。錐を排除すると$a_i>0$、$\sum a_i=3$より$(a_1,a_2,a_3)=(1,1,1)$、すなわち$\mathcal C_x=\mathbb P^1\times\mathbb P^2\hookrightarrow\mathbb P^5$である。

これは$T_A\operatorname{Gr}(2,5)=\operatorname{Hom}(A,\mathbb C^5/A)$内の階数1写像の射影化に一致する。$\operatorname{Gr}(2,5)$は階数2の既約コンパクトHermitian対称空間であり、$X$のPicard数1と一般点での射影的VMRT同値が揃ったので、MokのMain Theoremが$X\simeq\operatorname{Gr}(2,5)$を与える。

[EGHP06, Theorem 0.1, p. 2] Proposition 6.2 · pp. 19–20 [Mok08r, Main Theorem, §2.1, p. 10]

1. 最大不正則度の被覆でファイバーを分類する

有限étale被覆でもKähler性と解析的nef性は保たれる。各被覆のAlbanese写像は全射なので不正則度は$\dim X$以下の整数となり、最大値$q$が実現する。Demailly–Peternell–Schneiderはその被覆の滑らかなAlbanese全射と連結Fanoファイバーを与える。ファイバーの接束はnefで、次元は$d$。$d=6$にはTheorem 1.1、$1\le d\le5$には$\rho(F)\ge1>d-5$を使う既知の分類、$d=0$には点を対応させる。$X$が0次元の場合も点として最初に処理する。

[DPS94, Proposition 3.9, p. 25] [DPS94, Theorem 3.14, p. 31] [Kan16, Theorem 0.2, p. 1] §7.2 · pp. 21–22

2. 局所剛性を経て普遍被覆を分裂させる

$H^1(F,T_F)=0$による局所変形剛性からファイバーの同型型は局所定数となり、連結な$A$上で一つの$F$に固定される。Fischer–Grauertにより$\alpha$は正則局所自明となる。$d=0$では$\alpha$自体が同型である。$\widetilde A=\mathbb C^q$はSteinかつ可縮なので、Claudon–Höring–Kollárの定理は$\widetilde{X'}\simeq\widetilde F\times\mathbb C^q$を与える。有理等質$F$は単連結であり、連結有限étale被覆は通常の普遍被覆を変えないので、主張する$\widetilde X$の積が得られる。

[BB96, §3.7, 誌面 pp. 17–18 / PDF pp. 18–19] [Poc25, Theorem 1.1 (Fischer–Grauert), p. 1] [CHK13, Theorem 4.4, p. 11] §7.2 · pp. 21–22

3. 準射影性・正則凸性・Remmert還元

$F$は射影的なので$F\times\mathbb A^q$は準射影的である。積から$\mathbb C^q$への射影は固有で連結コンパクトファイバーを持ち、正則関数は各ファイバー上で定数となる。従って射影の構造層の直像は$\mathcal O_{\mathbb C^q}$であり、Stein底へのこの射がRemmert還元を与える。$q=0$でも底を点として成立する。また$0\le q\le\dim X$なので、$\dim X\le6$なら$d\le6$が自動的に満たされる。

§7.2 · pp. 21–22

1. 正のEinstein定数を1にする

次元6では主定理、次元1から5ではKanemitsuの既知結果で$X$を有理等質とする。Alekseevskii–Perelomovの構成をDemailly §1の記述を通じて入力し、$\rho(\sigma)=\lambda\sigma$、$\lambda>0$を満たすKähler形式を得る。定数倍でRicci形式は変わらないので$\omega=\lambda\sigma$とすれば$\rho(\omega)=\omega$となる。採用した規約でRicci形式は$2\pi c_1(-K_X)$を表すため、コホモロジー類の結論も同時に得られる。

[Kan16, Theorem 0.2, p. 1] [Dem18, §1 (Alekseevskii–Perelomov construction), p. 1] Corollary 7.1 · p. 21