Ample rank-two bundles on the quadric surface without Griffiths-positive metrics

1. 明示的な束と全$m$のample性

Proposition 2.3の$G$は二つの全射$G\twoheadrightarrow L_i$を持つ。$f_m$で引き戻した核の積は$\mathcal O_S(18m,18m)$となる。Proposition 3.1は、この正の積を対称冪のフィルトレーションに組み込み、偶数$n$かつ$n-1\ge3m$なら$\mathcal O_{\mathbf P(E_m)}(n)$がvery ampleであると示す。各$m\ge1$にそのような$n$があるため、全$m$でample性を得る。

Proposition 2.3 · p. 6

Proposition 3.1 · pp. 7–8

2. 無限個の正値計量を一つの極限へ移す

正値計量を持つ$m$が無限個なら、その中から$m\to\infty$を選べる。Proposition 4.1は$F=G^\vee$上に有限・非負・非零のpsh関数$q$を作り、各点$x\in S$で$q(x,v)=H_x(v,v)$、$H_x\ge0$を保証する。階数の退化は許すが、恒等的消失と二次性の消失は許さない。この全点での主張により、除数上のグラフ恒等式を$q$へ直接代入できる。

Proposition 4.1 · pp. 9–12

3. 測度の矛盾から有限例外へ戻る

Proposition 5.4は、構成した$G$に対してそのような$q$が必ず零になると示す。したがって正値計量を持つ$m$の集合は有限であり、その最大値より大きい$m_0$を選べる。集合が空なら$m_0=1$でよい。これは特定の$m$の曲率を計算して排除する証明ではなく、無限列の存在を排除する証明である。

Proposition 5.4 · p. 16

§6, Proof of Theorem 1.1 · p. 16

1. 有限位数は交点での接合を保証する

$A,B,A^{-1}B$の$\mathrm{SL}_2(\mathbf C)$における位数はそれぞれ$6,6,8$である。各対のグラフは異なる二つの固有直線に対応する二点で横断的に交わり、共通固有直線がないため三重点はない。従って$D$は双次数$(3,3)$、六つの節点を持つ。交点で$Nv=\lambda Mv$なら$\lambda^{24}=1$なので、$M^{\otimes24}$と$N^{\otimes24}$は同じ実際のファイバー写像となる。節点の局所環における

が、この一致を除数全体への接合へ変える。

Lemmas 2.1–2.2 · p. 5

2. 局所基底が商の全射性まで与える

$D$の局所方程式を$d$、$\beta$の局所係数の単元への持ち上げを$h$とすると、$G$は$e=(1,h)$、$f=(0,d)$を基底に持つ。これは節点でも成立する。両射影が全射であること、核が$L_i(-D)$であることをこの基底から読む。双対化で得る$\iota_2\alpha=\iota_1$は、後に二つのrulingから来る半ノルムを同一視する正確な関係である。

Proposition 2.3 · p. 6

1. 二つの負方向を交互の商でまとめる

$K_1=\mathcal O_S(21m,-3m)$、$K_2=\mathcal O_S(-3m,21m)$だが、$K=\mathcal O_S(18m,18m)$である。二つの列$0\to K_i\to V\to\widetilde L_j\to0$を交互に使うと、偶数$n$の$\operatorname{Sym}^nV$は線束因子

を持つ。各段で一つの局所分裂する商列だけを使うため、二つの核のファイバーが一致する点でも成立する。原典は$n=2$の局所基底計算で、節点や非被約な引戻し除数でも商が局所自由であることを確認する。

§3, equations (3.1)–(3.5) · pp. 7–8

2. $P^{n-1}$で全因子を大域生成にする

$W=\operatorname{Sym}^nV\otimes P^{n-1}$の各線束因子の双次数は

唯一残る負の寄与$-3m$を$n-1\ge3m$が打ち消す。非負双次数の線束は大域生成で$H^1=0$であり、長完全列によって各商の切断を順に持ち上げると$W$も大域生成となる。$H^1$の計算では、$\mathbf P^1$の標準アフィン被覆のČech計算を層コホモロジーに移す結果と、積のKünneth公式を使う。

§3, Global generation after twisting · p. 8

3. 最後の一つの$P$が底の埋込みを担う

評価写像と相対Veroneseにより$\mathbf P(V)\hookrightarrow\mathbf P(H^0(S,W))\times S$を得る。第一因子の超平面束の引戻しは$\mathcal O_{\mathbf P(V)}(n)\otimes\pi^*P^{n-1}$である。$P$で$S$を埋め込み、Segreを合成すると超平面束は

となる。$P^{n-1}$と最後の$P$の役割を分けることで、単なる大域生成からvery ampleへ進む。

§3, The projective embedding and its line bundle · p. 8

1. 冪写像上の平均が捻りの遷移を消す

双対計量の二乗ノルムは$f_m^*F\otimes P^{-1}$の全空間上でpshである。$P^{-1}$の局所枠$t$と$f_m^*P^{-1}\simeq P^{-m}$を使って

と置く。和は重複度を数え、根の選択差は絶対値1の定数なので二乗ノルムは不変である。非分岐部分では正則逆枝による引戻しの和でpshとなり、分岐上でも連続で局所有界である。分岐集合の全空間への逆像は閉pluripolar集合なので、除去定理を適用する。枠変換$t'=gt$では$q_{m,t'}=|g|^{2/m}q_{m,t}$であり、この余分な因子はコンパクト集合上一様に1へ近づく。

Proposition 4.1, equations (4.1)–(4.5) · pp. 9–10

[Dem12, Chapter I, Theorem 5.24, p. 45]

2. 最大値の正規化だけで終わらず、非消失を積分へ移す

背景計量を用いた大域的二次形式$N_m=q_{m,t}|t|_0^{-2/m}$を単位球面束上で最大値1に正規化する。係数行列$H_m$は局所一様有界となり、部分列は分布の意味で$H\in L^\infty_{\mathrm{loc}}$へ収束する。最大点$(x_m,v_m)$を収束させ、近くの一定ファイバーベクトル$c$に対するpsh関数$c^*H_mc$へ劣平均不等式を適用すると、固定の非負試験関数$\chi$について

を得る。これを分布極限へ渡すことで$H\not\equiv0$が従う。最大値の正規化だけでは弱極限の非消失を結論できない箇所を、この積分評価が埋める。

Proposition 4.1, equation (4.6) · p. 11

3. 除数上でも使えるpsh代表を作る

係数を底変数で放射対称核と畳み込み、$q_\delta(x,v)=v^*(H*\rho_\delta)(x)v$とする。$q_\delta$は滑らかなpsh関数であり、$\delta\downarrow0$で減少する。局所有界性の下で有限psh極限$q_U$を得る。有限個のベクトル$e_j,e_j+e_k,e_j+ie_k$における値の極限から偏極公式で全行列係数を回復するので、二次性は各点で成立する。重なりでは局所psh代表がほとんど至る所一致し、劣平均不等式と上半連続性から全点で一致する。

Proposition 4.1, equations (4.7)–(4.8); Remark 4.2 · pp. 11–12

[Dem12, Chapter I, Theorem 5.4, p. 39]

これにより大域的$q$を得る。生の点ごとの極限や除数への制限の収束を使うのではなく、全点で定義された一つの$q$にグラフ恒等式を評価することが重要である。原典Remark 4.2も除数上の制限の収束を主張していない。

Proposition 4.1, equations (4.7)–(4.8); Remark 4.2 · pp. 11–12

1. 二つのrulingと三つのグラフを一つの半ノルムへ集約する

$q\not\equiv0$を仮定する。$q\circ\iota_i$で第$i$座標とファイバーベクトルを固定すると、残る$\mathbf P^1$上の有限劣調和関数は定数である。従って各rulingから$\mathcal O_{\mathbf P^1}(-b)$上のpsh二乗半ノルム$a_i$が得られる。$\Gamma_I$上の恒等式が$a_1=a_2=:a_\bullet$を与え、$\Gamma_A,\Gamma_B$上の恒等式が

を与える。$a_\bullet=0$なら、$S\setminus D$で二つの直線が張ることと半正定値形式のCauchy–Schwarz不等式により$q=0$となる。さらに劣平均不等式で全空間に消失が及ぶため、$a_\bullet$は非零である。

Lemma 5.1 · p. 13

2. 零点を捨てずに曲率測度の質量を得る

局所枠$e$で$a_\bullet(z,we(z))=u_e(z)|w|^2$と書く。全空間でのpsh性から、平滑化した正係数$u_\delta$について$u_\delta(u_\delta)_{z\bar z}-|(u_\delta)_z|^2\ge0$となり、$\log u_\delta$は劣調和である。原典は非零性と劣平均不等式から負の部分の積分を評価し、零点を含めて$\log u_e\in L^1_{\mathrm{loc}}$を示す。従って

は大域的なRadon測度となる。枠変換の対数差は調和、$A,B$の持ち上げも等長なので$A^*\mu=B^*\mu=\mu$である。$\mathcal O(-b)$の基準係数$(1+|z|^2)^b$との差を大域的可積分関数の$i\partial\bar\partial$として積分すると

零点や原子を取り除かないことが、非零の質量を保つために必要である。

Lemma 5.2 · pp. 14–15

3. 膨張する積と位数3が両立しない

$T=AB$は固有値の絶対値が異なり、射影座標で$z\mapsto\lambda z$、$|\lambda|=R>1$となる。互いに素な半開円環$C_n=\{R^n\le|z|<R^{n+1}\}$は同じ測度を持つため、有限性から全て測度零である。従って$\mu$の非空な台は$T$の二つの固定点の部分集合に含まれる。$A,B$はこの台を保ち、どちらも射影位数3なので、高々二点の台上の置換は自明である。よって台の各点が$A,B$の共通固定点となるが、Lemma 2.1の共通固有直線の不存在と矛盾する。これで$q\not\equiv0$は排除される。

Lemma 5.3 · p. 16