複素微分幾何学 · 2026-08-17

The Fino-Vezzoni conjecture on balanced Bismut torsion-parallel manifolds

balanced Bismut torsion-parallel多様体上のFino–Vezzoni予想

Shuwen Chen, Fangyang Zheng

shuwen-chen-1yqjaz fangyang-zheng-bxdsp8 curvature Curvature geometry 曲率幾何

arXiv Abstract

We study the Fino-Vezzoni conjecture on compact complex manifolds carrying a balanced Bismut torsion-parallel Hermitian metric. We prove that if such a manifold also admits a pluriclosed Hermitian metric, then it admits a Kähler metric.

日本語要約

balancedでBismut接続の捩率が平行なHermitian計量を持つcompact複素多様体を扱う。同じ多様体がさらにpluriclosed Hermitian計量を持つなら、二つの計量が同一であるとの仮定なしにKähler計量が存在することを示し、このクラスでFino–Vezzoni予想を証明する。

We study the Fino-Vezzoni conjecture on compact complex manifolds carrying a balanced Bismut torsion-parallel Hermitian metric. We prove that if such a manifold also admits a pluriclosed Hermitian metric, then it admits a Kähler metric.

compact複素多様体がbalanced Bismut torsion-parallel Hermitian計量と、別のpluriclosed Hermitian計量を持つならKähler計量を持つことを証明する。 これにより、BTPという曲率・捩率条件の下でFino–Vezzoni予想を全複素次元について解決する。

arXiv
2608.13887v1
初回投稿日
2026-08-14
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

非Kähler Hermitian幾何で頻出する二条件が balanced と pluriclosed である。Fino–Vezzoni予想は、compact複素多様体がそれぞれの条件を満たすHermitian計量を持つならKähler計量を持つ、と主張する。二つの計量は同じである必要がないため、単一計量が両条件を満たせば直ちにKählerとなる既知の事実より強い問題である。

本論文はbalanced計量に、Bismut接続の捩率が平行というBTP条件を課す。この条件下で、別のpluriclosed計量が存在すればKähler計量を構成できることを全複素次元で証明する。

既知の3次元分類に依存せず、Bismut holonomy が保存する有限次元データと行列式最大化を用いるため、推移的群作用のない多様体にも適用できる点が特徴である。

背景と問題設定

Hermitian多様体 $(M^n,g)$ の基本形式を $\omega$ とする。balanced条件とpluriclosed条件はそれぞれ

$$ d(\omega^{n-1})=0,\qquad \partial\bar\partial\omega=0 $$

である。balanced性はGauduchon torsion 1-form $\eta$ を

$$ \partial(\omega^{n-1})=-\eta\wedge\omega^{n-1} $$

で定めたときの $\eta=0$ と同値である。またBTPとはBismut接続 $\nabla^b$ とその捩率 $T^b$ に対する $\nabla^bT^b=0$ をいう。

主結果

主定理（Theorem 1）

$M^n$ をcompact複素多様体とする。$M$ がbalanced BTP Hermitian計量 $g$ とpluriclosed Hermitian計量 $h$ を持つなら、$M$ はKähler計量を持つ。

重要なのは $g$ と $h$ が異なってよいことである。この定理により、compact balanced BTP多様体上ではFino–Vezzoni予想が任意の複素次元で成立する。

証明の見取り図

Chern捩率のBismut平行性により、各点で複素Lie括弧が生じ、Bismut平行移動で保存される。平行な $(1,0)$-ベクトル場から、trace-freeな平行Hermitian derivationと閉実 $(1,1)$-形式を作る。

一方、pluriclosed計量をBismut holonomyで平均し、正の平行Hermitian endomorphism $K$ を得る。閉平行変分からなる有限次元アフィン空間上で $\log\det$ を最大化すると、最大点から正のbalanced形式 $\alpha_D$ が得られる。pluriclosed条件と平均化恒等式は $\alpha_D$ が $(n-2)$-Gauduchonであることを導き、最後にprimitive $(2,1)$-形式 $\partial\alpha_D$ のHodge–Riemann形式を用いて $\partial\alpha_D=0$、したがって $\alpha_D$ がKählerであると結論する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2608.13887
  • Introduction: Section 1, pp. 1–3
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction