Uniformization of complete Kähler manifolds with positive bisectional curvature

1. 初期の完備性を、局所極限と比較原理へ渡す

Proposition 2.1は、線形成長以下の狭義psh重み、有限jet補間、消失しない標準束切断、$u\asymp1+r$で$|\partial u|_g\leq C$、$|\partial\bar\partial u|_g\leq C/u$となるexhaustionを用意する。接ベクトル場の補間には$T^{1,0}M$自身のNakano正値性を仮定せず、$E\otimes\det E$の正値性と重み付き$L^2$解法を使う。平均曲率評価は固定中心$o$における$\frac{\int_{B_g(o,L)}R_g\,dV_g}{\operatorname{Vol}_g B_g(o,L)}\leq C/L$であり、中心に一様な定数や最大体積成長へ読み替えない。

Proposition 2.1; §2.1 · pp. 6–8 [Dem82, Theorem 2.6, 誌面 p. 467 / PDF p. 12] [Dem82, Theorem 5.1, 誌面 p. 475 / PDF p. 20] [CZ05, Theorem 2, p. 2]

$\{u<L\}$上で境界付近をconformalに吹き上げ、完備で無限位数のbounded geometryを持つHermitian計量$\alpha_L$を作る。LT20はこの各近似の短時間Chern–Ricci流に適用する。標準束切断から得たpotential障壁と最大固有値評価で、固定コンパクト・固定時間区間上の両側計量評価を得る。Chu16の一様放物型評価と局所高階評価から対角部分列を取り、初期時刻の片側微分も含む局所$C^\infty$収束によって$h_0=g$、$0<h_t\leq g$、$R_{h_t}\geq0$を得る。近似の完備性だけから極限の完備性を結論してはいない。

Theorem 3.1; §§3.1–3.3 · pp. 12–16 [LT20, Definition 2.1; Lemma 2.1, p. 6] [Chu16, Theorem 5.1 and hypotheses H1–H3, pp. 14–15]

$\rho=\log(\det g/\det h_t)$には有限時間で$\frac{\int_{B_g(o,L)}\rho\,dV_g}{\operatorname{Vol}_g B_g(o,L)}\leq C_TL$が成り立つ。$g-h_t$に適合した可積分重み$\chi\asymp u^{-k}$は$\partial\bar\partial\chi\leq C_T\chi h_t$を満たす。これと$|\operatorname{tr}_{h_t}B|dV_{h_t}\leq C_n|B|_g dV_g$という余因子評価により、無限遠の誤差を消す。Proposition 3.3は$0\leq v\leq\rho$の上半連続粘性劣解に対し $$ \partial_tv\leq e^{-v}\Delta_{h_t}v+(1-e^{-v})R_{h_t}\quad\Longrightarrow\quad v=0 $$ を証明する。その滑らかなmajorant $w$では$\partial_t[(e^w-1)dV_{h_t}]=(\Delta_{h_t}w)dV_{h_t}$となり、重み付き質量のGronwall評価が閉じる。

Proposition 3.3; proof · pp. 18–20 Lemma 3.4; §3.6 · pp. 19–22

2. 双対ノルムの共同psh性がHarnack評価と完備性を与える

Theorem 6.3が$N(x,\xi,e^{w+\bar w})$のpsh性を示すと、空間・時間の曲率blockから非負正則二断面曲率とmatrix/scalar Harnack不等式が得られる。初期の狭義正値性は固定コンパクト上でRicci正値性を与え、matrix不等式がこれを正時間へ伝播させる。距離を近似する区分的に滑らかな経路上でscalar不等式を積分するため、この時点では完備性や大域的最短測地線を使わない。

Theorem 6.3 · p. 48 Proposition 7.1; proof · pp. 49–50

その後、初期の球$B_g(o,L)$からの最短退出長$\ell_L(t)$に対して$1+\ell_L(t)\geq(1+L)e^{-2C_T\sqrt t}$を得る。$L\to\infty$により全ての正時間sliceが完備になる。ここで$C_T$は有限時間区間と固定初期幾何に依存する。

3. 体積時計の収縮を全方向・全コンパクトへ広げる

$\tau=\log t$、$s=\rho(o,t)$、$q(s)=ds/d\tau=tR(o,t)$と置く。局所chartの最大・最小の初期計量での特異長を$B,A$とすると、Lemma 7.3の$B\leq C(1+A)^C$が行列式の減少を全方向の収縮へ変える。この定数は固定コンパクト、chart半径、下側計量評価、近傍の初期幾何に依存し、特定のchartの全歪みには依存しない。$s\to\infty$で各固定コンパクト上 $$ \rho(x,t)/s\longrightarrow1,\qquad e^{-2s}g\leq h_t\leq e^{-c_Ks}g $$ を得る。

Lemma 7.3; proof · pp. 52–54 Propositions 7.4–7.5; proofs · pp. 55–58

選んだRicci pinching区間で再尺度化した流れを接空間の球へ引き戻し、局所$C^\infty$部分列極限を取る。Harnackの等号は極限のスカラー曲率の実Hessianを狭義負にし、元の多様体の小さい内在的球へその評価を戻せる。スカラー曲率の勾配流で固定ループを縮めて単連結性を示す。大域的な非崩壊極限や、局所chartの大域単射性は仮定しない。

単連結性により逆chart $f_s$をexhaustion上で整合的に続ける。まず得る$\sup_K|f_s|\leq C_Ke^{-a_Ks}$を、$s^{-1}\log|f_s|$の局所$L^1$ psh部分列極限とLemma 7.6のLiouville性で改善し、全ての固定コンパクトに共通の$\sigma>0$を得る：$\sup_K|f_s|\leq e^{-\sigma s}$。成立し始める時刻は$K$に依存してよい。transition $F_{s,u}$には$|\det F'_{s,u}(0)|=e^{-(u-s)/2}$と、後の時刻$u$に一様なjet・小球評価が残る。

Proposition 7.7; proof · pp. 59–61

4. 非一様収縮の損失を前向きの次数に記録する

Proposition 8.1は固定jet次数$d$に対して、局所座標変更$H_k$と多項式自己同型$G_k$を作り、$J_d(H_{k+1}F_k)=J_d(G_kH_k)$を満たす。Jacobianの非定数jetを先に消し、発散ゼロの斉次場をshearで実現する。非線形shearのJacobianは1だが、$G_k$全体のJacobianは収縮する線形部分の定数である。$n=1$では次数2以上の発散ゼロの斉次場は零であり、この構成も扱う。

Proposition 8.1 · p. 62 Lemma 8.2 · p. 63 [FL14, Proof of Theorem 3.1 (divergence-free shears), pp. 8–9]

原典はregular区間で重み付き次数を保ち、bad区間での次数増加を$q$の増大に割り当てる。$\liminf_{s\to\infty}q(s)/s\leq2$から、前向き合成$G_{0,k}=G_{k-1}\circ\cdots\circ G_0$に$\deg G_{0,k}\leq Ds_k$となる非有界部分列を得る。Proposition 9.2は補正座標の極限を双正則写像$\Psi:M\to\Omega\subset\mathbb C^n$にする。この段階では像が真部分領域である可能性が残る。

Lemma 8.4; proof · pp. 68–69 Proposition 9.2 · p. 71

5. 最大球半径の背理法で全射性を閉じる

$0<\gamma'<\sigma/2$とし、$R_* =\sup\{R:B(R)\subset\Omega\}<\infty$を仮定する。次数を抑えた部分列に対し、$0<R_1<R_*<R_2$を$D\log(R_2/R_1)<\sigma/2-\gamma'$となるように選ぶ。$\overline{B(R_1)}\Subset\Omega$なので、Proposition 9.2と多項式の成長評価から $$ \sup_{B(R_2)}|G_{0,k}| \leq (R_2/R_1)^{Ds_k}e^{-(\sigma/2)s_k} <e^{-\gamma's_k}. $$ 同じ命題の$G_{0,k}^{-1}(B(e^{-\gamma's_k}))\subset\Omega$を使えば$B(R_2)\subset\Omega$となり矛盾する。よって$\Omega=\mathbb C^n$。単射・非特異性と合わせて主定理の双正則性が得られ、Stein性と可縮性も従う。逆合成の次数上界や、一様な瞬間収縮比はこの最終段階には不要である。

§9.4; proof of Theorem 1.1 · pp. 73–74

1. 面積罰則を消しても残る境界評価を作る

初期双対ノルムのpsh性と$h_t\leq g$から$N(\cdot,0)\leq v\leq N(\cdot,t)$。円板の下限が達成されるとは仮定しない。境界をコンパクトに制限する壁と$\varepsilon\mathcal E$を加え、固定した壁$j$と$\varepsilon>0$で内部像をコンパクトに閉じ込める。内部のコンパクトは$\varepsilon$に依存してよいが、変形評価の最終誤差$C_j\varepsilon(1+\mathcal E)$の係数は境界データだけに依存させる。最小化列の極限、$\varepsilon\downarrow0$、その後の$j\to\infty$を区別することが必要である。

§4; Lemma 4.1 · pp. 22–23 Lemma 5.2; §§5.3–5.5 · pp. 34–41

境界Hessianの負部分を除き、正定値majorantを$H^*H$に分解する。BR03の境界まで滑らかな可逆正則因子が、円板に依存する試験方向を許す。時間変形は後ろ向きに取り、境界時間が$T$に近い場合も許容性を保つ。Proposition 5.1は垂直block $C>0$の下側試験Hessian $W=\bigl(\begin{smallmatrix}A&B\\B^*&C\end{smallmatrix}\bigr)$について、$K\geq0$、$K\geq A-BC^{-1}B^*$、$\partial_t\phi\geq\operatorname{tr}(C^{\mathsf T}K)$を供給する。水平Hessian自身が非負だと置き換えない。

[BR03, Theorem 2.1, 誌面 p. 887 / PDF p. 4] Proposition 5.1 · pp. 31–32

2. 共通baseの接触を足して行列式の不等式を得る

各余接fiberで$\xi^*B\xi\leq v(x,\xi,t)$を満たす$B>0$の$\log\det B$を最大化し、$\mathcal L=\log\det B$、$b_t=h_t^{-\mathsf T}$、$F_0=\log\det b_t-\mathcal L$と置く。$0\leq F_0\leq\rho$である。$B=I$の座標で接触ベクトルを$\sum_i\alpha_i\xi_i\xi_i^*=I$と取り、複製によって$\max_i\alpha_i$を小さくする。

各接触で別々のbaseを選ぶのではなく、共通の$x,t$を保つ積のsupportとinf-convolutionで同時接触を選ぶ。垂直Levi blockの正値性を保持してProposition 5.1を適用し、Schur補元を足す。下側試験のHessianの微小減少を各固定接触で先に消し、その後に正則化、最後に接触重みを極限へ送る。Proposition 6.2は$\partial_t\mathcal L\geq e^{-F_0}\Delta_{h_t}\mathcal L$を下側粘性の意味で与える。

Lemma 6.1; Proposition 6.2 · pp. 42–47

3. 行列式差ゼロからノルムの円板不等式へ戻る

$\ell=\log\det b_t$は$\partial_t\ell=\Delta_{h_t}\ell=R_{h_t}$を満たす。したがって$F_0$はProposition 3.3の上側粘性不等式を満たし、$F_0=0$となる。$B\leq b_t$かつ$\det B=\det b_t$なので$B=b_t$、従って$N\leq v\leq N$である。さらに$v\leq v^{\rm raw}\leq N$から生の円板下限も$N$に等しく、全ての許容円板でsubmean不等式が得られる。任意の有限時間上限を選べるので、複素化した対数時間を含む共同psh性に至る。

Proposition 3.3; proof · pp. 18–20 Theorem 6.3 · p. 48

1. jet誤差を逆反復の有効領域内で総和する

原典は収縮指数に応じて$\nu>0$、次に$(d+1)\nu>30$となる$d$、その後に小さいmacro幅$h$、最後に十分遅い開始時刻を選ぶ。$\Delta s_k$の係数$C_d$が$h$に依存しないことがこの順序を可能にする。$\zeta_k=H_k(z_k)$に対して欠損$r_k=\zeta_{k+1}-G_k\zeta_k$を$e^{-10s_k}$以下にし、$G_k^{-1}$のLipschitz評価は指定された$B(e^{-\nu s_{k+1}})$内だけで使う。

§9.1, (9.1)–(9.7) · pp. 69–70

逆向き帰納では、誤差評価と比較線分がこの球から出ないことを同時に示す。誤差和$\sum_{i\geq k}e^{-10s_i+s_{i+1}-s_k}\leq e^{-6s_k}$が閉じ、$\xi_k=\lim_{l\to\infty}G_{k,l}^{-1}\zeta_l$は局所一様に収束し、$\xi_{k+1}=G_k\xi_k$を満たす。対象は固定コンパクト上の$z_k=f_{s_k}(x)$と、縮小chart球からの$z_k=F_{s_a,s_k}(z)$の二種類であり、後者が球包含に必要になる。

Lemma 9.1 · p. 71

2. 極限の正則性から単射性・非特異性まで確認する

逆chartの整合性と$\xi_{k+1}=G_k\xi_k$で局所極限を貼り合わせる。単射性は、同じ像を持つ二点のraw座標差が$e^{-5s_k}$以下になることと、$h_{t(s_k)}\geq e^{-2s_k}g$を比較し、初期計量の固定球から退出する経路の長さが零へ向かう矛盾で得る。

微分の非特異性は局所一様収束だけからは結論しない。$d(H_kf_{s_k})$の下界$cs_k^{-C}e^{-s_k}$に対し、少し大きな固定近傍での誤差$e^{-6s_k}$をCauchy評価して微分誤差を抑える。これにより$d\Psi$は非特異となり、単射性と局所逆写像定理から$\Psi:M\to\Omega$は双正則である。$\Psi^{-1}(K)$上のchart収縮を使うと、像内コンパクトでの前向き小ささも従う。

§9.3, (9.10)–(9.14) · pp. 71–73

3. 縮小chart球から像に含まれる球を得る

$T_k=G_{0,k}\Psi\Phi_{s_k}$を$B(e^{-\gamma s_k})$で線形部分$A_k=H_k'(0)$と比較する。$A_k^{-1}$の多項式上界とCauchy評価で$A_k^{-1}(T_k-A_k)$の微分を小さくする。$\gamma'>\gamma$により、$|w|\leq e^{-\gamma's_k}$に対する$z=A_k^{-1}w-A_k^{-1}(T_k(z)-A_kz)$は小球上の縮小写像となる。よって$B(e^{-\gamma's_k})\subset G_{0,k}(\Omega)$。この球包含と前向き小ささが、主定理の最終段階で同じ$G_{0,k}$に適用される。

§9.3, (9.10)–(9.14) · pp. 71–73