Integrability of split tangent bundles on rationally connected manifolds

1. 接する写像上で補因子の束を自明化する

$F|_\Delta=g$、$dF(T^{(i)})\subset F^*E_i$ を満たす $F$ を取る。ただし $T^{(i)}=\operatorname{pr}_i^*T_C$ である。$F$ は臨界点を持ち得るので、局所座標系や $X$ の局所積分解とは扱わない。

$i\ne j$ に対し、$\xi\in E_j$、$e\in E_i$ に対する $\nabla^i_\xi e=P_i[\xi,e]$ は、方向変数でテンソル的、$e$ についてLeibniz則を満たす部分接続である。どちらの束の可積分性もこの構成には不要である。$F$ の接条件により、$F^*E_i$ 上に $\operatorname{pr}_i$ に関する相対正則接続が引き戻される。これは $dF$ の逆を使わず、臨界点でも定義される。

その接続を各 $\mathbb P^1$ ファイバーへ制限すると曲率は正則2形式なので零であり、単連結性から平行移動は経路に依らない。対角線上を始点とする移動は正則に変化し、Proposition 3.1の同型

を与える。ここで平坦なのは曲線ファイバー上への制限であり、$X$ 全体の平坦接続を得たわけではない。

Proposition 2.1 · p. 3 · Proposition 3.1; equation (3.2) · p. 10

2. 二点評価から、一点で消え他点を張る切断を得る

異なる $a,b\in C$ を固定する。Lemma 4.1は、$G\colon C\times T\to X$ で $(\mathrm{ev}_a,\mathrm{ev}_b)\colon T\to X\times X$ がsubmersionとなる非空の族を与える。Appendix Bでは射影空間内の多項式表示を用いて可算個の曲線族を作り、その二点評価の像が一般の点対を覆うことを使う。すべての像が低rankなら測度零となるため、少なくとも一つは全rankを持つ。

各 $g=G(\cdot,\tau)$ について族を微分すると $g^*T_X$ の大域切断を得る。二点評価の微分の全射性と $P_i$ による射影から、$a$ で消える $g^*E_i$ の大域切断の $b$ における値が $E_{i,g(b)}$ を張る。各曲線のtangent boxを族として正則に選ぶ必要はない。

Lemma 4.1 · p. 11 · Appendix B; Lemma 4.1 (proof) · pp. 14–15

3. 定数切断に還元して両方のbracketを消す

可積分性の障害は正則束射

である。$L_i=\{s_j=b\}\subset S$ に制限すると、$\Theta_i$ は入力束を $g^*E_i$ と、$\Theta_j$ は出力束を $\mathcal O_C\otimes E_{j,g(b)}$ と同定する。$a$ で消える切断 $u,v\in H^0(C,g^*E_i)$ に対し

は定数であり、$a$ で零なので $b$ でも零である。$(b,b)$ では $F(b,b)=g(b)$ かつ輸送は恒等であるため、$B_i(g(b))(u(b)\wedge v(b))=0$。前段の張る性質から $B_i(g(b))=0$ となる。$\mathrm{ev}_b$ の像は非空開集合であり、連結な $X$ 上の恒等原理により $B_i$ は全体で消える。$i=1,2$ の双方に同じ議論を行うことで、両方の指定部分束の可積分性を得る。

Theorem 1.1 (proof) · p. 11

1. 射影により形式的Cauchy問題を解く

対角線近傍で $u=s,v=t-s$ と置くと、必要な接条件は

と同値である。$\widehat F=\sum f_k(u)v^k$ の係数比較で $(k+1)f_{k+1}$ が既知の係数とその $u$ 微分から決まり、局所解の一意性が座標変換上の貼合せを与える。この時点では法線方向の収束を主張していない。

Lemma 2.2; equation (2.2) · pp. 4–5

2. 対角線の正の法束を切断数の不足へ変換する

射影埋込み $X\subset\mathbb P^N$ の形式的引戻し線束を $L$、$L|_\Delta\simeq\mathcal O_C(d)$ とする。$I/I^2\simeq\mathcal O_C(-2)$ より、$M_m=L\otimes\widehat{\mathcal O}_S(m,m)$ の法線方向の消滅次数filtrationは

を与える。一方、多項式切断の対の空間は $2(m+1)^2$ 次元なので、形式的同次座標 $S_0,S_\nu$ に対する $AS_0+BS_\nu=0$ という非自明な関係が得られる。これにより $S_\nu/S_0=-A/B$ を有理関数で表す。対角線上の一点で分母の先頭係数を非零に選び、共通の法線変数の冪を消去することで、同じ形式展開を持つ正則写像がその近傍に得られる。この段階で原稿は外部のG3定理を使わない。

Lemma 2.3; equations (2.3)–(2.4) · pp. 6–7 · Remark 2.4 · p. 8

3. 両接条件が例外曲線上の微分を零にする

得られた有理写像を有限個の点のblowup $\mu\colon S'\to S$ で解消し、$F'\colon S'\to X$ を得る。Appendix Aは局所base idealのcolengthを減少量として、この解消の有限停止を示す。接条件から

が全体で成り立つ。例外曲線 $H$ の一般点で $s\circ\mu-s(p)=r^\alpha h$、$t\circ\mu-t(p)=r^\beta\widetilde h$ と書く。正の次数の共通因子を消去して $r=0$ に制限すると、$P_1dF'|_{T_H}=P_2dF'|_{T_H}=0$、したがって $dF'|_{T_H}=0$。各例外成分は一点に写り、$\mu$ のファイバーの連結性により $F'$ は $S$ へ降下する。孤立点での除去可能性によって降下写像は正則となり、恒等原理が対角線上の値と接条件を全域へ延長する。

Lemma A.1 · pp. 13–14 · Lemma 2.5; Proposition 2.1 (proof) · pp. 8–9

1. 積定理の仮定を満たし、因子を射影的な切片として実現する

HöringのTheorem 1.4は、有理連結な射影多様体の指定分裂について、少なくとも一方の可積分性から両因子に適合する同型 $X\simeq X_1\times X_2$ を与える。本稿のTheorem 1.1がその追加仮定を満たす。得られた因子は滑らかであり、積の切片として $X$ の閉複素部分多様体に実現できるので、$X$ の射影埋込みの制限が各因子の射影性を与える。

ここでの同定は正則接束の指定部分束との適合であり、計量に関する直交積を主張していない。また、有限被覆や普遍被覆へ移って得る積を本体の積と取り違えない。

[Hor07, Theorem 1.4, p. 2] · Corollary 1.2 · p. 2

1. 一般ファイバーで主定理の仮定を用意する

Höringの公刊版Definition 2.9とTheorem 2.10に従い、商のfibration locusの正則値上で $Z$ を取る。$Z$ は滑らかで連結なコンパクト部分多様体としてKähler形式を継承し、有理連結である。同書のDefinition 2.8直後に述べられたCampanaの結果により $Z$ は射影的になる。

さらにProposition 3.16は、周囲の射影 $P_i$ が $T_Z$ を保存することを与える。その制限は正則な相補的冪等射であり、連結な $Z$ 上でrankは一定なので、その像は部分束 $W_i$ をなし、$T_Z=W_1\oplus W_2$。両rankが正なら $\dim Z\ge2$ でTheorem 1.1が適用できる。一方が零なら、二つは $0,T_Z$ であり可積分性は既に成立する。

[Hor08, Definition 2.9; Theorem 2.10, 誌面 p. 1070 / PDF p. 5] · [Hor08, remark after Definition 2.8, 誌面 p. 1070 / PDF p. 5] · [Hor08, Proposition 3.16, 誌面 p. 1073 / PDF p. 8] · Theorem 1.1 · p. 1

2. 一般ファイバー上の可積分性を二つのファイブレーションへ渡す

これでHöringのTheorem 1.3が要求する一般ファイバー上の可積分性が成立し、$i=1,2$ の双方についてalmost-holomorphic fibrationと $T_{F_i}=W_i|_{F_i}$ が得られる。公刊版の定義は恒等写像を許し、同定理の証明は $W_i=0$ の場合を $\operatorname{id}_X$ で処理している。この場合を正のrankを要するTheorem 1.1に無理に含めない。$W_i$ の可積分性から、周囲の $V_i$ が一般に可積分だとは結論しない。

[Hor08, Theorems 1.3–1.4, 誌面 p. 1068 / PDF p. 3] · [Hor08, Theorem 1.3 (proof), 誌面 p. 1074 / PDF p. 9]

3. rank 2の仮定の下で全三結論を得る

$\operatorname{rank}V_1=2$ なら、$\operatorname{rank}W_1$ は $2,1,0$ のいずれかである。HöringのTheorem 1.4は同じ可積分性の前提の下で、順にanalytic fiber bundleと $T_{X/Y}=V_1$、equidimensionalな正則写像と有理曲線の一般ファイバー、$T_Z\subset V_2|_Z$ を与える。rankが互いに排他的かつ全体を尽くすので、Corollary 5.1の「ちょうど一つ」まで従う。

[Hor08, Theorems 1.3–1.4, 誌面 p. 1068 / PDF p. 3] · Corollary 5.1 · pp. 12–13