The reverse logarithmic Kodaira inequality and additivity

1. 負の無限大の二つの場合を切断の消滅として処理する

$\kappa_F=-\infty$のとき、非零の全空間切断があれば、その非消滅集合の像は底の稠密開集合を含む。非常に一般のファイバーへの制限と随伴により$H^0(F,mL_F)\ne0$となり矛盾する。一方、$\kappa_Y=-\infty$のときは、非零の全空間切断から底の非消滅を与えるProposition 1.3に矛盾する。どちらも全正次数での消滅を示している。

§2.2 · p. 5

2. 小平次元0の底で、同じファイバーへの制限を全次数で単射にする

$\kappa_Y=0$なら$h^0(Y,aL_Y)\leq1$である。非零切断の零因子は各次数で高々一つなので、全次数にわたるそれらの可算和を避け、ファイバーの各plurigenusも非常に一般の値を取る点$y$を選べる。制限の核に非零の$s$があれば、Proposition 1.3が$y$で消える非零の底切断を作り、選び方に反する。したがって

ここで必要なのは、切断ごとに変わる被覆の開集合ではなく、元の$V$の指定点でProposition 1.3が使えることである。切断環の有限生成性は用いない。

§2.3・(2.3)–(2.5) · pp. 5–6

3. 正の小平次元を、飯高ファイバー上の小平次元0へ帰着する

$k=\kappa_Y>0$とし、対数的飯高写像を解消して$q:Y'\to T$、$\dim T=k$を得る。境界には狭義変換と被約例外因子を取り、全空間側も対応する解消$f':X'\to Y'$を行う。対数的切断空間は変わらない。非常に一般の$q$-ファイバー$G$は$\kappa(G,K_G+D'|_G)=0$である。$H=(q\circ f')^{-1}(t)$から$G$への射も、誘導境界を含めて必要な滑らかさを保つため、前段が適用できる。

最後の上界は全空間の線形系と$q\circ f'$を組み合わせた像の次元評価である。$G$が点の場合も含む。$H$の小平次元が$-\infty$なら、制限により全空間の切断そのものを排除する。

§2.1・(2.1) · p. 5、§2.4 · pp. 6–7

この独立した上界を、第5節でOIの対数下界と合わせる。上界の核心は次節以降のProposition 1.3である。

RA, §2・§7.6 · pp. 5–7, 50

1. 巡回被覆の新しい判別式を、底の極に加えない

$s$の$m$乗根を取る被覆から対数的混合Hodge類を作り、非零となる純weight商へ射影する。得られる$u:\mathcal O_Y(-L_Y)\dashrightarrow\mathcal E^d$とそのHiggs反復は、元の$\Omega_Y^1(\log D)$の枠で係数を測る。原稿のProposition 3.1は、任意の所定の高いモデルでも、この係数がunipotent化後のHodge延長内で正則であることを示す。

横断曲線で試す際、余接テンソルの枠は外部の引戻し束の枠として残す。被覆側の微分へ置き換えて割り戻さないので、元の$V$内に現れた被覆の判別式が新たな極を生まない。純weightへの射影の正則性はLemma 3.2の部分束性に依存する。その入力はFF14の半安定対数的de Rhamとcanonical extensionの比較、およびFF17が補うstrictnessである。

Proposition 3.1・Lemma 3.2 · pp. 8–13 · FF14, §4.9・Lemma 4.10, Step 1 · pp. 24–31 · FF17 · pp. 1–2

2. 指定点のblowupでは、元のsource lineの枠を保つ

$s|_{X_y}=0$なら、相対SNCな滑らかなファイバーの近傍で$s$の係数は$\mathfrak m_y\mathcal O_X$に属する。$y$をblowupし、例外因子に横断的な座標$t$を取り、$t=\tau^e$、$m\mid e$とする。元の$L_X$の枠で測る根$r$は

を満たし、右辺は正則である。正規性から$r/\tau^{e/m}$も正則となる。weight商へ移す前にこの因子を割り出せるのはLemma 3.2の部分束性による。次数$a$の斉次テンソル操作後にも、元の$\mathcal O_Y(-aL_Y)$の引戻し枠で少なくとも$ae/m>0$の零点が残る。blowup後の新しい対数的標準束の枠へ置き換えると、この指定点の情報を失う。

Lemma 3.3・(3.15) · pp. 13–14

3. period商が点なら係数を取り出し、正次元なら底の正の小平次元を示す

Proposition 4.1は斉次置換$u_*:\mathcal O_Y(-aL_Y)\dashrightarrow\mathcal E_0$と、全Lie periodおよびcompact flagを記録する連結商$S$を作る。[BBT, Theorem 1.1]は、格子を保持した全Lie変動のperiod像の代数性に使う。最高Hodge束の行列式だけをperiod商として用いるわけではない。

$S$が点なら降下した変動は定数となる。定数枠での$u_*$の各座標は$aL_Y$の有理切断であり、全素因子での係数正則性と正規性から大域切断になる。非零座標を$\tau$に選ぶ。前段の正の例外因子次数は元の点$y$での消滅次数なので、$s|_{X_y}=0$なら$\tau(y)=0$である。正次元の$S$に対しては次節が$\kappa_Y>0$を与える。したがって$\kappa_Y=0$なら点商の場合だけが残り、Proposition 1.3の両結論が得られる。

Proposition 4.1 · pp. 14–15、Lemma 4.7 · pp. 19–20、§7.1・Proposition 7.1 · p. 43、§7.5 · pp. 49–50 · BBT, Theorem 1.1 · p. 1

指定点で消える底切断は、小平次元0の底で同じファイバーへの制限を全次数で単射にする。正次元period商の分岐は次節で処理する。

RA, §2.3・Proposition 1.3の証明 · pp. 5–6, 50

1. 相対飯高底に、切断空間を正確に表す因子を作る

$S$のgeneric fiberでは係数系が定数なので非零の対数的切断が得られ、そこでの飯高次元は非負になる。相対飯高ファイブレーションを取り、$x$のgeneric fiber $J$上の次数$a$の一意的な生成元$\omega$によって$u_*=\omega x^*u_W$と分解する。$W$の素因子$A$に対し

を定める。$D_Y$はこのモデルの被約境界である。元のsource上の素因子が一時的な底の余次元2以上へ潰れる場合、その制限valuationを底に抽出してから最小値を計算する。この操作により、十分割り切れる$\ell$について

は同型となり、切断比を保つ。$Y_0$は固定モデルで、その切断空間は元の$(Y,D)$と同じである。また$L_W$は$S$上相対的にbigである。

Lemmas 6.1–6.2・(6.5)–(6.6)、Proposition 6.3・(6.8) · pp. 37–41

2. 補助subpairの階数条件を確かめてmoduli部分のnef性を得る

原稿は$\Delta=-a^{-1}\operatorname{div}_{aK_{Y/W}}(\omega)+x^*\sum t_AA$を使い、$K_Y+\Delta\sim_{\mathbb Q}x^*L_W$とする。$\Delta$には負の係数を許す。generic fiber上の対数的零因子$Z_J$の小平次元が0であることから、discrepancy sheafの切断を$\mathcal O_J(NZ_J)$の切断で上から抑え、定数切断で下から抑える。こうして

を確認し、[FG, Definition 3.2 / Theorem 3.6]を適用する。必要なモデル上で

を得る。$B_W\geq0$は、$t_A$の最小値を実現する同じ素因子でdiscriminant thresholdを評価して示す。ここで使う外部結果はb-nef性であり、moduli部分のsemiamplenessではない。

Proposition 6.3・(6.9)–(6.15) · pp. 41–43 · FG, Definition 3.2・Theorem 3.6 · PDF pp. 5, 7（刊行pp. 1724, 1726）

3. period方向をHiggs tailsの数値次元の中へ収める

period側では、非自明なLie monodromyをもつ境界$D_0$の各成分で$\nu(H|_{D_i})<\nu(H)$となる。切断の増大次数を比較してこの境界を取り除き、$K_S+bH$をbigにする。一方、$u_W$のHiggs反復の全収縮が生成する束を$G_i$とし、unipotentな有限被覆と解消の合成$\pi:\widehat W\to W$上で

と置く。Proposition 5.6は$P$のnef性と$\nu(P+\widetilde H)=\nu(P)$を示す。曲率が零の方向で選んだ直線とcompact flagが固定されることに加え、orbit計算と表現論のLemma 5.7で最高Hodge空間全体も固定されることが必要である。選んだベクトルがその空間全体を生成するという仮定は置かない。

Proposition 5.3 · pp. 30–33、Lemma 5.4・Proposition 5.5 · pp. 33–34、Proposition 5.6・(5.11)–(5.18) · pp. 34–36

4. 境界に一様な余接束評価から、固定した比較式を得る

Lemma 7.4は、$t_A$の最小値を実現する成分とdiscriminant係数の評価を併用して、Higgs行列式をorbifold余接テンソルへ移す。$M_W+\epsilon A$を一般の有効な$\Lambda_\epsilon$で表し、$K_W+B_W+\Lambda_\epsilon\sim_{\mathbb Q}L_W+\epsilon A$が擬有効な範囲で[CP, Theorem 1.3]を適用する。[BDPP, Theorem 2.2]で可動曲線との次数評価を擬有効な因子の比較へ戻すと、$\epsilon$に依存しない$C\geq0,R>0$について

擬有効閾値$t_0$が正なら$t_0\leq Ct_0/(C+R)<t_0$となるので、$t_0=0$である。極限を取り、$\pi^*P_W\geq_{\mathrm{pe}}P$と合わせて、固定した$Q=C+R>0$に対する$Q\pi^*L_W\geq_{\mathrm{pe}}P$を得る。同じ摂動対に[CP, Theorem 3.4]を適用し、good modelから押し戻して$L_W-h^*K_S\geq_{\mathrm{pe}}0$も得る。

Lemmas 7.4–7.6・(7.5)–(7.11) · pp. 46–49 · CP, Theorems 1.3, 3.4・Remarks 3.3, 3.6 · pp. 3, 12–14 · BDPP, Theorem 2.2 · p. 6

5. 数値的な捻りを引き去り、元の底の小平次元へ戻す

相対bigness、$L_W-h^*K_S\geq_{\mathrm{pe}}0$、$K_S+bH$のbignessから、まず$L_W+bh^*H$がbigになる。引戻し後に豊富な$A'$を下から取り、前段の固定した比較式を足すと

Lemma 7.3では$\nu(P+\widetilde H)=\nu(P)$により、nef Morse不等式の損失項の$t$次数が供給項より小さくなり、右辺が$t\gg0$でbigになる。Proposition 7.2はここから$L_W$のbignessを得る。第1段の完全切断空間の同型で元の底へ戻し、$\kappa_Y\geq\dim W\geq\dim S>0$を得る。一般の擬有効因子について数値次元と飯高次元の一致を仮定する段階はない。

Proposition 7.2・Lemma 7.3 · pp. 44–45、Proposition 7.7 · p. 49、Proposition 1.3の証明 · p. 50

底の正の小平次元が従うため、底の小平次元0の場合には点商だけが残る。これでProposition 1.3を閉じ、第2節の上界へ戻る。

RA, Propositions 7.7, 1.3 · pp. 49–50

1. 下界の境界条件と非常に一般のファイバーを一致させる

[OI, Corollary 6.2]に$D_X=E,D_Y=D$を代入する。滑らかな連結射影的複素多様体、連結ファイバー、被約SNC境界と台の包含はすべてTheorem 1.1の仮定から従う。下界側はstratumの滑らかさを要求せず、使う非常に一般の対も$(F,E_F)$で一致する。原稿はこれをTheorem 7.8として再掲する。

Theorem 7.8・§7.6 · p. 50 · OI, Corollary 6.2 · pp. 40–41

2. 負の無限大でも、上界が与える消滅を保つ

両項が有限なら、上界と下界を合わせて等号を得る。どちらかが$-\infty$なら下界は自動的な不等式となり、Theorem 1.1が与えた$H^0(X,mL_X)=0$が等号の内容を担う。OIの証明から、この消滅結論を引き出しているわけではない。

Theorem 1.1 · p. 2、§2.2 · p. 5、§7.6 · p. 50 · OI, Corollary 6.2の証明 · p. 41

smooth族でファイバーと底の小平次元が非負なら、WV Theorem 1.1との比較でvariationの上界を得る別経路になる。

WV, Corollary 1.3後の比較 · p. 5