The normalized-volume gap in dimension four

1. 体積を保つ錐への帰着

安定退化で$C=\operatorname{Spec}\operatorname{gr}_v\mathcal O_{X,x}$と最小化Reebベクトル$\xi_*$を得る。有限生成、錐上での体積・log discrepancyの保存、全中心付き付値の中での最小性が必要であり、固定Reeb錐だけでの最小化では足りない。Lemma 2.1は斉次生成元の持ち上げとIzumi評価を用い、$\operatorname{edim}(x,X)\le\operatorname{edim}(o,C)$を得る。

[XZ25, Theorem 1.2, p. 2] [LX18, Theorem 1.3, p. 3; Lemma 4.10, p. 35] [Li18, Theorem 3.1, p. 6]

錐のpunctureに特異点があれば、その軌道の閉包により頂点の特異 locusは正次元となり、$V\le4096/27<162$に反する。指数$d$のindex-one coverには有限次数公式を適用でき、$dV\le256$から$d=1$。kltのCohen–Macaulay性と斉次Nakayamaで$C$はGorensteinとなる。十分近い原始整次数付けのdegree valuationについて、discrepancyを$r>0$、体積を$h$とすれば$r^4h\ge V$かつ$r^4h\to V$である。

Proposition 2.2; Lemma 2.1 · pp. 5–6 [XZ21, Theorem 1.3, p. 1] [Liu22, Corollary 2.18, p. 9]

2. 二つの評価がterminal切断で合流する

Proposition 3.4は頂点中心の原始素因子すべてに$A_C(F)\ge3$を与える。Proposition 5.1は$\operatorname{lct}_o(C;\mathfrak m_o)>3/2$を与える。極大イデアルのlog resolution上で$\mathfrak m_o\mathcal O_Y=\mathcal O_Y(-\sum b_iE_i)$、$A_i=A_C(E_i)$とすると、一般切断$H$の通常discrepancyは$A_i-1-b_i$である。$H$はGorenstein Cohen–Macaulay四次元多様体のCartier切断なのでGorensteinかつ$S_2$であり、Bertiniによる頂点外の滑らかさが$R_1$を与えて正規となる。

$b_i=1$では$A_i-b_i\ge2$、$b_i\ge2$では$A_i-b_i>b_i/2\ge1$。したがって全係数は正で、$H$はterminal Gorenstein三次元芽となる。ここでは閾値だけからterminal性を結論していない。Reidの指数1分類により特異な$H$は孤立cDV、したがって解析的超曲面であり、滑らかな場合も含め$\operatorname{edim}(o,H)\le4$。よって

Proposition 6.1 · pp. 17–18 [Reid83, Theorem (1.1), 誌面 p. 138 / PDF p. 5; Section (0.5), 誌面 p. 134 / PDF p. 3]

3. 上界、等号の必要条件、最適性

特異な正規四次元芽で埋込み次元が5以下なら、元の局所環は五次元正則局所環の高さ1素イデアルによる商となる。正則局所環のUFD性でそのイデアルは主イデアルだから、$X$自身が代数的局所超曲面、従ってlciである。ここで錐だけが超曲面であることと混同しない。

この段階でLiuのlci定理を適用し$V\le2(4-1)^4=162$を得る。同じ定理の等号分類により、$V=162$なら元の芽はODPである。逆向きにはODPの体積が実際に162であることが必要であり、単に一つの付値が162を与えるだけでは下限の一致を示さない。ODPの頂点の通常blow-upの例外因子$E$では$A_X(E)=3$、$\operatorname{vol}(E)=2$なので候補値は$3^4\cdot2=162$となる。本稿は既知のlci定理の等号主張とこのODP計算をここで入力し、完成局所環の同型で体積が不変という結果を通じて解析的分類に結び付ける。これで上界の最適性も得られる。

Proof of Theorem 1.1 · p. 18 [Liu22, Theorem 2.12, p. 6] [Liu22, Lemma 2.15, p. 7]

1. 全付値最小性に対する試験付値

Lemma 3.1のgrading extractionは$K_{\widetilde C}=\pi^*K_C+(r-1)E$とlc対$(\widetilde C,E)$を持つ。stabilizer $\mu_m$の滑らかなslice上で座標$(u,z_1,z_2,z_3)$に重み$(1,\alpha,\alpha,\alpha)$を与え、関数体へ制限した付値$v_\alpha$を用いる。$\alpha>0$を有理数とすればこれは因子的付値に比例し、$A_C(v_\alpha)=r+3\alpha$となる。

次数$j$の関数の像は、$S_j$の次元と、対応する文字のslice jet空間の次元の小さい方で抑えられる。後者の主要項は$\ell^3/(6m)$であり、$m$を忘れる通常のjet計数では必要な評価にならない。次数について積分すると

Lemma 3.1 · p. 7 Lemma 3.3 · p. 8

2. 近似最小性との矛盾と整数性

$m/r\ge2/5$なら$Q=mhr^3\ge324/5>64$。$\alpha=r\delta$として右辺を$r^4h$で割った比$(1+3\delta)^4/(1+\delta Q^{1/3})^3$の零点微分は$12-3Q^{1/3}<0$となる。小さな固定有理数$\delta>0$が一様に$1$未満の比を与え、$V/(r^4h)\to1$と矛盾する。各付値のcutoff極限を先に取るので、jet誤差項の次数付けに関する一様性は要求しない。

$mE$の局所Cartier性から$\operatorname{ord}_F(E)\ge1/m$であり、lc性を使うと$A_C(F)\ge r\operatorname{ord}_F(E)>5/2$。$K_C$がCartierなのでこれは整数で、$A_C(F)\ge3$となる。以後$y=\lambda j$、$\lambda=5/(2r)$に再正規化するとcanonical weightは$5/2$、すべての非頂点stabilizerは$\lambda m<1$となる。

Proposition 3.4 · p. 9

1. Hilbert級数の周波数ギャップが短い重みを強制する

正規Cohen–Macaulay次数付き環$T$に対し、canonical moduleの自然な重みを使って

を作る。Lemma 4.1は$\lambda m<1$からHilbert級数の非零pole frequencyが$[-1,1]$外にあることを示し、Fourier変換の台が$(-1,1)$にあるSchwartz関数$F$に対して$\int F\,d\mu_T=\int F(y)P_T(y)\,dy$を得る。$P_T$は$H_T(s)=\sum_y\dim T_y e^{-sy}$の$s=0$でのpolar partを記録する多項式である。本稿は次数付き自由分解を双対化して$H_{\omega_T}(z)=(-1)^{\dim T}H_T(z^{-1})$を導き、この内部の計算を用いる。ここで後者の$H_T(z)$は整次数のHilbert級数であり、$z=e^{-\lambda s}$である。

四次元環$S$ではcanonical weight $5/2$の対称性で、$x=y+5/4$に移した密度は$a(x^3+cx)$となる。原稿はband-limited関数の二乗に符号を変える多項式を掛け、$c\ge-1$と$a\ge432/625$を得た後、区間$(0,D)$、$D=5/3$に関数重みがないと積分値の上下界が矛盾することを示す。Proposition 4.3(a)が従う。二・三次元の場合の同命題(b)には、$\omega_T^{[q]}\hookrightarrow T$が重みを正に下げるという追加条件がある。Lemma 4.2がcanonical sectionの正重みと$P_T$の次高次係数の正値性を供給する。

Lemma 4.1 · pp. 10–11 Lemma 4.2 · pp. 11–12 Proposition 4.3 · pp. 12–14

2. 閾値が小さいと低重み関数の共通零点にlc中心ができる

$\operatorname{lct}_o(C;\mathfrak m_o)\le3/2$と仮定する。$0<y<D$の斉次関数の基底$f_i$を取り、$d_0=\max\operatorname{wt}(f_i)<D$とする。冪を取って共通重み$B$に揃えたイデアル$\mathfrak b$の閾値$t=\operatorname{lct}_o(C;\mathfrak b^{d_0/B})$は$0<t\le3/2$であり、$td_0<5/2$。十分多くの一般元の平均で作る有効斉次境界$G$は総重み$td_0$を持ち、$(C,G)$はlcで、その全lc中心で$f_i$が消える。$\mathfrak b$が極大イデアルprimaryであるとは仮定しない。

grading extraction上では$A_{C,G}(F)>0$が中心ちょうど$o$のすべての$F$に成り立つ。これは$td_0<5/2$により例外因子の係数差が正になるためで、$o$自体はlc中心でない。従って最小lc中心$Z$は$1\le\dim Z\le3$を満たす。affine subadjunctionを適用できるのは$C$が正規affine、$G$が有効有理境界、$K_C+G$が$\mathbb Q$-Cartier、対がlcであるためである。得られるklt対$(Z,\Delta_Z)$により$Z$は正規・有理特異点・Cohen–Macaulayとなる。

Proposition 5.1, boundary and lc centers · pp. 15–16 [FG12, Theorem 7.2, p. 11]

3. 中心の次元ごとに非消滅の仮定を確保する

$T=S/I_Z$には元のgradingを誘導する。stabilizerは同じ点を$C$で見たものと同一なので$\lambda m<1$を保つが、作用は有効とは限らない。一方、$T_y$は$S_y$の商であり、すべての$f_i$が$Z$上で零なので$T_y=0$ for $0<y<D$。

$\dim Z=1$なら正規な次数付き曲線は$\mathbb C[z]$であり、$z$の重みはstabilizer条件から$1$未満となり直ちに矛盾する。$\dim Z=2$ならklt境界を持つ曲面の$\mathbb Q$-factorial性で$Z$自体が$\mathbb Q$-Gorenstein kltとなる。canonical reflexive powerの斉次生成元は正重みを持ち、それを$1$へ送って必要な重みを下げる単射を得る。

$\dim Z=3$では$U=Z\setminus\{o\}$は滑らかな$C\setminus\{o\}$内のCartier因子である。非零低重み関数$f$について$b=\operatorname{wt}(f)<D$、$q=\operatorname{ord}_Z(f)\ge1$とすると、equivariant adjunctionと$f$による乗法から$\omega_U^{\otimes q}\to\mathcal O_U$が得られ、その次数は$b-q(5/2)<0$である。頂点を跨いで反射的に延長すれば$\omega_T^{[q]}\hookrightarrow T$となる。$Z$全体の$\mathbb Q$-Gorenstein性を仮定する必要はない。二・三次元ともProposition 4.3(b)の低重み非消滅と矛盾し、閾値の厳密な不等式を得る。

Proposition 5.1, center dimensions · pp. 16–17 [dFH09, Proposition 7.2, p. 16; Corollary 7.15, p. 18]