A projective fourfold with large fundamental group and non-Stein universal cover

1. 構成と群像の計算を分ける

算術的複素双曲4次元球商上の超平面配置を、二つの符号被覆と分岐充填で滑らかな射影多様体 $V$ にする。特別ファイバー $C\times C$ を交換する位数4の作用を利用し、その近傍だけを通常の滑らかな空間へ解消して $\mathcal S$ を得る。$\operatorname{Sym}^2 C$ は $A=\operatorname{Jac}(C)$ の一点ブローアップなので、特別ファイバーへの有理写像を解消すると $Y\to\mathcal S$ ができる。群像の上界はmeridianの関係式、無限性の下界は局所被覆での経路読取りが担う。

Sections 4.4–4.6; Proposition 4.3 · pp. 17–19

2. 射影実現とlarge条件、解析的障害を接続する

Theorem 7.3の埋込み $A\hookrightarrow S'$ をProposition 2.1へ渡す。補助アーベル多様体への射影が非定数な部分多様体と、固定曲面内にある部分多様体を分けることでlarge条件を示す。一方、$A$ の基本群の核 $K\simeq\mathbf Z^3$ に対応する被覆 $A_K$ が $\widetilde X$ の閉複素部分多様体として現れる。その $H_3$ が消えないことがStein性を妨げる。ここで $A_K$ は $A$ の普遍被覆 $\mathbf C^2$ とは異なる。

Theorem 7.3 · p. 40; Proof of Theorem 1.1 · p. 41; Proposition 2.1 · pp. 4–6

1. 六分岐点と局所配置を射影幾何へ実現する

四つの実代数的分岐点を $|\lambda_i|<0.01$ に、残り二つを $\lambda_5<-4$, $\lambda_6>4$ に置く。弱近似で根の位置と三つの素数での因数分解型を指定し、Galois群 $S_6$ の六次多項式を作る。Zarhinの結果より $\operatorname{End}(A)=\mathbf Z$、従って $A$ は単純となる。ここで使うのは標数0、既約次数6、Galois群 $S_6$ の場合である。

[Zar99, Theorem 2.1, p. 2]

二つの座標対に六本のslopeと二本のcoupling hyperplaneを置く。coupling hyperplaneは赤い四本だけと交わる。Proposition 4.1により任意に大きな有界領域でこの有限配置と完全一致する深い合同球商を選ぶ。Stover–Toledoの仮想分岐被覆定理は、各label divisorごとに $d=2$ として適用する。その各divisorの成分は滑らか・埋込み・相互に非交差である。その後共通有限被覆を取り、二つの符号指標を作る。交差する全divisorの和へ定理を直接適用しない。

Proposition 4.1 · pp. 14–15; Theorem 4.2; Section 4.3 · p. 16 [LP25, Theorem 4.2, p. 8] [LP25, Theorem 4.2, p. 8]

配置の交差中心をブローアップし、例外meridianの符号をそこを通る成分数の偶奇で定める。分岐成分を分離して正規化すると滑らかな $V$ と特別ファイバー $C\times C$ を得る。位数4の作用は局所的に $(p,q;u,v)\mapsto(q,p;v,-u)$。特別ファイバーでの粗商を明示的に解消し、他の固定点ではquotient stackを保つ。この区別が、曲面写像の像を通常点領域に置く保証になる。

Sections 4.4–4.6; Proposition 4.3 · pp. 17–19

2. 赤・青meridianは巡回上界だけを与える

六点orbifold pencilの群は $$ Q=\langle h_1,\ldots,h_6\mid h_i^2=1,\ h_1\cdots h_6=1\rangle. $$ 偶語部分群が $\pi_1(C)$ である。coupling meridian $k$ と赤meridian $h_i$ の交点のブローアップは、符号0の例外因子を作る。従って $kh_i=1$ が充填で課され、四つの赤meridianは共通のinvolution $r$ になる。球面関係は二つの青meridianを $b$ に同一視し、偶語の像は $rb$ の冪からなる。Lemma 6.2の共通basepointでの押し出しにより、この計算が $\pi_1(Y)$ の像に伝わる。しかし、この段階では有限巡回像も除外されていない。

Lemmas 6.2–6.3 · pp. 29–30

3. 全ての非零冪を一辺として検出する

局所配置被覆の二面体ラベルから二つのtranslation $\ell_z,\ell_w$ を読む。中心chartでは交換対称性に不変な和 $\ell_z+\ell_w$、外側では二つの核の共通部分を使う。Proposition 5.4はbufferをもつ重なりで核の一致を保証し、Proposition 5.5は対応する経路グラフの一様双曲性を与える。局所経路判定Lemma 3.1の仮定は、prefix・逆向き・辺の持上げの整合性、短いprefix後の終点一致判定の不変性、一様双曲性であり、Lemma 6.4が構成への適用を行う。

Lemma 3.1 · p. 7; Proposition 5.4 · pp. 23–24; Proposition 5.5 · p. 24; Lemma 6.4 · pp. 32–33

辺を「長さ有界」ではなく「球への射影の直径 $<u$ の経路」と定める。従ってtranslationが非零のloop $e$ を特別ファイバー近くへ押すと、どの非零冪 $e^n$ も一辺のままで、読取り終点は $n\ell(e)\ne0$ だけ異なる。通常点領域では対称性が自由に作用するため、中心chartの商でもこの差は消えない。Lemma 6.6は、orbifoldで零ホモトピックなloopが局所の短い閉路関係でも自明になることを、一般位置と横断円板のmeridian関係を通じて示す。従って局所判定が $e^n\ne1$ を全ての $n\ne0$ について保証し、巡回上界と合わせて像は $\mathbf Z$ となる。局所ラベルを $\pi_1(\mathcal S)$ の大域的二面体表現とみなしてはいけない。

Lemma 6.6; Sections 6.4–6.5 · pp. 33–35

1. orbifoldを通常の射影ambientに置き換える

Lemma 7.1は、滑らかな連結effective proper Deligne–Mumford stack $T$ が射影粗空間をもち、滑らかな射影曲面の写像 $Y\to T$ が通常点領域に入るとき、$Y\hookrightarrow S\xrightarrow h T$、$h_*:\pi_1(S)\simeq\pi_1(T)$ を実現する。$S$ は滑らかな射影5次元に取れる。接束と自明束の多数の直和から射影束を作ると、忠実なstabilizer表現により非通常点領域の余次元が増える。曲面のgraphを含み、その領域を避ける完全交叉を取る。

群の同型は、まず拘束のない一般切断にHamm–Lêの準射影Lefschetz定理を適用し、次に滑らかで境界を避ける完全交叉のパラメータ空間を道で結び、smooth proper familyのEhresmann同型で曲面を含む切断へ移す。曲面を含む切断を、理由なしに「一般超平面」と扱っていない。

Lemma 7.1 · pp. 35–36 [HL85, Theorem 1.1.3(ii), 誌面 p. 126 / PDF p. 5] [HL85, Theorem 1.1.3(ii), 誌面 p. 126 / PDF p. 5]

2. ambientを変更して曲面上の例外曲線を除く

Lemma 7.2は、埋め込まれた滑らかな射影曲面の $(-1)$ 曲線を一点へ吹き下げる操作を、新しい滑らかな射影ambientの中で実現し、ambient基本群の同型と曲面からの準同型の可換性を保つ。原稿は曲面を含む3次元を作り、必要な孤立nodeでは曲面を変更しない小解消を選び、例外曲線の法束を $\mathcal O(-1)\oplus\mathcal O(-1)$ に調整する。そのブローアップの例外因子 $G\simeq\mathbf P^1\times\mathbf P^1$ を反対のrulingで収縮する。

大域的射影性を支えるのは、$H|_G=\mathcal O(\alpha,\beta)$、$\beta>\alpha>0$ を満たすample束の構成である。$D=H+\alpha G$ は $G$ 上で $\mathcal O(0,\beta-\alpha)$ となり、高い倍数の切断が所要の収縮を作る。局所座標で収縮先と曲面像の滑らかさを確認する。これを点ブローアップの逆順に繰り返して $A$ 自身を埋め込み、Theorem 6.1の実際の群準同型を保ったままTheorem 7.3へ至る。

Lemma 7.2 · pp. 36–40

1. 固定曲面を保つ4次元完全交叉

$d=\dim S'$、$\dim B=6$ のアーベル多様体を取り、$W=S'\times B$、$F=A\times\{0\}$ とする。十分高いvery ample束の冪で $\mathcal I_F\otimes L^m$ の一般切断 $c=d+2$ 本を取り、その共通零点を $X$ とする。$F$ に沿う法微分のrank低下の余次元は3で $\dim F=2$ より大きく、各段階が滑らかになる。Lefschetzにより $$ \pi_1(X)\simeq\pi_1(S')\times\pi_1(B) $$ で、$A$ からの像は保たれる。

Lemma 2.3の一様補間により、一つの $B$-fiber内の $W\setminus F$ の相異なる四点で $c$ 本全てが消える条件は余次元 $4c=4d+8$。四点のパラメータ空間の次元 $4d+6$ を超えるので、一般切断では各fiberの $F$ 外の点は高々三つである。従って正次元fiber成分は $F$ 内に限られる。

Lemma 2.3 · pp. 4–5; Proof of Proposition 2.1 · p. 5

2. 全ての正次元部分多様体に対するlarge条件

$Z\subset X$ の $B$ への像が非定数なら、$\pi_1(Z^\nu)\to\pi_1(B)$ の像は無限である。有限ならtorsion-free性により零となり、$Z^\nu\to B$ は $\mathbf C^6$ に持ち上がるが、コンパクト性により定数になって矛盾する。像が定数なら $Z\subset F$。$Z=F$ では仮定の巡回像が使える。曲線の場合は正規化 $D$ のJacobianから $A$ への非零準同型が単純性により全射となり、$\pi_1(D)$ は $\pi_1(A)=\mathbf Z^4$ に有限指数の像をもつ。その無限巡回商への像も無限である。

これでlarge条件を得る。Lemma 2.2はlarge条件と $\widetilde X$ に正次元コンパクト解析部分多様体がないことの同値を与える。逆向きでは、コンパクト解析部分多様体の $X$ への像が代数的で、正規化間の有限全射が基本群に有限指数像を与えることを使う。

Lemma 2.2 · p. 4; Proof of Proposition 2.1 · pp. 5–6

3. 曲面被覆の $H_3$ がStein性を妨げる

$\widetilde X\to X$ は単連結な位相的普遍被覆に持ち上げた複素構造を入れたものである。$K=\ker(\pi_1(A)\to\pi_1(X))\simeq\mathbf Z^3$ とすると、$A$ の逆像の一連結成分は $$ A_K=\mathbf C^2/K\simeq_{\mathrm{diff}}(S^1)^3\times\mathbf R, \qquad H_3(A_K,\mathbf Z)\simeq\mathbf Z. $$ 被覆分類によりこの核が成分の被覆を特定し、被覆chartでは成分が局所的に分離するため $A_K$ は $\widetilde X$ の閉複素部分多様体である。Andreotti–Frankelの次元上界は、複素2次元Stein多様体のCWホモトピー次元が実2以下であることを与える。従って $A_K$ は非Stein。Stein多様体の閉複素部分多様体はSteinなので、$\widetilde X$ も非Steinとなる。

Proof of Proposition 2.1 · p. 6 [Mil63, Theorem 7.2, 誌面 p. 39 / PDF p. 22] [Mil63, Theorem 7.2, 誌面 p. 39 / PDF p. 22]

最後に§1で述べたRemmert還元と正次元コンパクト解析部分多様体の不在を合わせると、$\widetilde X$ は正則凸でもない。これは $A_K$ の位相的障害を、large条件を介して正則凸性への障害に変える段階である。

[EKPR09, Introduction, p. 2]