Invariant anticanonical indices and conversion of twisted differentials

1. 不変Euler指数から固定次数の不変形式へ

有限被覆の普遍被覆を$\widetilde S=\mathbf C^b\times C\times F$とし、$C$はRicci平坦、$F$は無正次数形式のcompact factorとする。残余作用はcompact torus $T$を通る。Hodge対称性から$H^q(F,\mathcal O_F)=0$（$q>0$）なので$I_T(0)=1$である。Theorem 1.1の多項式は非零となり、ある固定$q$に対して$H^q(F,L_F^m)^T$が非有界な$m$で非零になる。係数を$L_F^{m+1}$としたHard Lefschetzとcompact averagingにより、固定$p$で$H^0(F,\Omega_F^p\otimes L_F^{m+1})^T\ne0$を得る。

[OpenAI26a, Theorem 2.1; Lemma 2.2, pp. 5–8]

Theorem 2.4; Corollary 2.5 · pp. 8–9 [DPS01, Theorem 2.1.1, p. 8]

2. 形式を降下してから擬有効誤差を作る

不変標準枠を掛けるProposition 5.1により、不変形式は$S$上の$H^0(S,\Omega_S^p\otimes(-K_S)^r)$へ単射で移る。$p>0$ならgeneric spanの固定した行列式を取り、cotangent tensor内で飽和した線束$M$を得る。nef性で$-M$が擬有効となり、$D=-M$と置けば、無限の形式は有効因子$N_j\sim d_j(-K_S)-D$へ変わる。$p=0$では既に反標準切断である。

Proposition 5.1 · p. 16 Theorem 4.1; Lemma 4.2; Corollary 4.3 · p. 15 [LMPTX23, Theorem 4.1, 誌面 p. 1409 / PDF p. 17]

3. 通常のconversionと有限étale norm

$S$の反標準計量は$X$からの滑らかな半正値引戻しであり、Theorem 1.2を適用できる。得られた$-kK_S$の通常の切断を、次数$d=\deg(S/X)$のnormで$-dkK_X$の非零切断へ送る。この段階で切断に$T$-不変性を要求しない。有限被覆を大域的直積と扱う必要もない。

Theorem 1.2 · p. 2 Corollary 5.2 · pp. 16–17 [OpenAI26a, Theorem 2.1; Lemma 2.2, pp. 5–8]

1. 固定成分公式を全ての可除指数の多項式へ

固定成分$Z\subset F^T$で、法接束のcharactersを$\nu_i$、形式的Chern rootsを$x_i$とする。自然反標準characterは$w=\sum_i\nu_i$であり、局所寄与は $$\int_Z\operatorname{td}(Z)e^{m c_1(L_F|_Z)}t^{mw}\prod_i(1-t^{-\nu_i}e^{-x_i})^{-1}.$$ 一つの整数方向で分母をpolarizeすると、自明characterの係数は$\sum_i\alpha_i b_i=-mw$、$b_i>0$（$i\in I$）、$b_i\ge0$（それ以外）の重み付き格子点計数となる。全$\alpha_i$は同じ線型汎函数で正である。Lemma 2.1は閉有理多面体を格子単体に分割し、基本平行多面体と二項係数恒等式(2.1)から小さい指数も含む全可除指数での多項式を得る。次数は切り詰めたcohomologyで有限となり、最後に対称な全寄与だけを特性類として積分する。

§2.2, (2.2)–(2.4) · pp. 7–8 Lemmas 2.1–2.2 · pp. 4–6 [ASeg68, Theorem 2.12, 誌面 p. 540 / PDF p. 11] [ASin68, Theorems 3.9, 4.3, 誌面 pp. 562–565 / PDF pp. 18–21]

2. 自然線形化が削除面へのretractionを与える

$D=\{x_i\ge0:\sum\alpha_i x_i=-w\}$、$A=\bigcup_{i\in I}(D\cap\{x_i=0\})$とする。$I\ne\varnothing,D\ne\varnothing$なら、$u_i=-1$（$i\in I$）、$u_i=1$（それ以外）が同じaffine空間に属す。これは$w=\sum\nu_i$を用いる箇所である。$t(x)=\max_{i\in I}(x_i+1)^{-1}$、$r(x)=u+t(x)(x-u)$は$D$から$A$へのretractionで、線分homotopyは$A$を固定する。従って$\chi(D)=\chi(A)=1$で、包除原理による多項式定数項は$(\chi(D)-\chi(A))W(0,0)=0$となる。

$I=\varnothing$なら閉計数の定数項$W(0,0)$が残る。実際の$m=0$でも正のpairingが$b=0$を強制し、これが許されるのは$I=\varnothing$の場合だけである。従って$P(0)=I_T(0)$。$F^T=\varnothing$なら固定点公式とcharacterの連続性から全指数で$I_T=0$、$P=0$とする。自明作用・零次元多面体も同じ式に含まれる。非閉集合$D\setminus A$の通常のEuler標数を用いるのではなく、compactな二つのEuler標数の差を用いる。

Lemmas 2.1–2.2 · pp. 4–6 §2.2, (2.2)–(2.4) · pp. 7–8

1. 最大の支配された底と縦次数の正規化

$\pi:V\to S$上で$c\pi^*L-f^*H$が擬有効（$H$は底$Y$上のample divisor）となる有理写像のうち、底の次元が最大のものを選ぶ。函数体も相対代数閉にする。$c'L-A$が擬有効なら、$A$の二つの切断比は$\mathbf C(Y)$に属する。そうでなければpencilとの積がより大きい支配された底を与える。

$N_j\sim m_jL-D$の間の式(3.3)から水平次数は$m_j$のaffine函数となる。非負性と$m_j\to\infty$が$N_2-N_1$の水平有効性を与える。normal modelで各底素因子上の最小正規化次数を差し引き、分母を払えば$\sigma:f^*B\to\ell\pi^*L$（$\ell>0$）を得る。各底素因子上の少なくとも一成分で$\sigma$は消えない。底が点ならこの時点で正冪の切断が得られる。

§3.1, (3.2)–(3.7) · pp. 9–12

2. rank oneの積分から有界最大値計量へ

$E=K_V-\pi^*K_S=K_V+\pi^*L$は有効例外因子で、標準切断を$e$とする。最大性は全$k\ge0$に対し$f_*\mathcal O_V(E+k\ell\pi^*L)$のgeneric rankを1にする。rankが大きければ、十分な底のample twistで二つの切断を作り、その比を押し下げることで最大性に反する。

$B$の局所枠$\beta$に対し、smooth-fiber locusで $$\varphi_\beta=-\log\max_{V_y}|\sigma_\beta|^2_{h_L^\ell}$$ と置く。Berndtssonの定理は$e\sigma_\beta^k/f^*\tau$の$L^2$積分の$-1/k$倍対数にpsh性を与える。正の全台測度に対する高次momentsの極限とDiniの定理により、この極限は$\varphi_\beta$に局所一様収束する。propernessは重みの下界を与え、$\sigma$が消えない成分を使う局所power-map表示は上界を与える。divisorとcodimension twoを越えて延長し、局所有界な半正値計量$h_B$を得る。

§3.2, (3.8)–(3.10) · pp. 12–13 [Ber09, Theorem 1.2, p. 3]

3. k=0を含む消滅が非零多項式を保証する

擬有効支配から底方向に正の特異計量を作り、滑らかな$h_L$と小さい比率で混合する。psh重みの小指数可積分性により、ある$\varepsilon>0$で$\Theta_h(\pi^*L)\ge\varepsilon f^*\omega_H$かつ$\mathcal I(h)=\mathcal O_V$となる。$h_B$が有界なので全ての固定$k\ge0$について$f^*h_B^k$を掛けても乗数イデアルは変わらない。Fujinoの定理を$q=0$で用いると $$H^i(Y,\mathcal G\otimes\mathcal O_Y(kB))=0\quad(i>0,k\ge0),\qquad\mathcal G=f_*\mathcal O_V(E).$$ 従って$Q(k)=\chi(Y,\mathcal G(kB))=h^0(Y,\mathcal G(kB))$は零を含む全非負指数で成り立つ。$e$により$Q(0)>0$なので$Q$は非零、多くの正の$k$で切断がある。これに$\sigma^k$を掛け、$\pi_*\mathcal O_V(E)=\mathcal O_S$で押し下げれば$k\ell L$の切断を得る。$L=-K_S$はrank oneの随伴式と、この零次の固定層の両方に使われる。

§3.3, (3.11)–(3.12) · pp. 13–14 [DK01, §1.4(8), p. 7] [Fuj16, Theorem 1.3, p. 2]

1. 自然作用が二つのtensor因子で一致する

不変標準枠の積を$\eta$とする。不変形式$u$を$\eta^{-r}\otimes\operatorname{pr}_F^*u$へ送ると、微分形式と反標準束の双方の自然作用がdeck作用と一致するため降下できる。射影による形式の引戻しは単射で、枠とのtensorは可逆、局所被覆も非消滅を保つ。$S$の射影性により降下した正則切断は代数的である。

Proposition 5.1 · p. 16 [OpenAI26a, Theorem 2.1; Lemma 2.2, pp. 5–8]

2. 指数のずれと行列式の飽和を保つ

$I_T(0)=1$とCorollary 2.5の指数は$m+1$なので、降下写像には$r=m+1$を入れる。$F$が点なら$p=0$で同じ結論を得る。降下後の$p>0$では、generic spanの基底$r'$本のうち一本を無限のtwisted formsで置き換えて外積を取る。新指数は$m_j+$固定和で非有界のままである。$\bigwedge^{r'}\Omega_S^p$内の飽和線束$M$は反射的なので線束となり、tensor powerの直和因子への包含で飽和性を保つ。LMPTX23の定理はこの$-M$を擬有効にする。そこで通常のTheorem 1.2を適用するので、不変形式を不変反標準切断に直接変換したとは述べない。

Theorem 2.4; Corollary 2.5 · pp. 8–9 Theorem 4.1; Lemma 4.2; Corollary 4.3 · p. 15 [LMPTX23, Theorem 4.1, 誌面 p. 1409 / PDF p. 17]