A conditional abelianity theorem for special fourfold pairs with a half-weight divisor

幾何の構成と二つの移行

Proposition 4.1は、連結で滑らかな射影8次元多様体$Y$と全射$g:Y\to X$を作る。一般ファイバー$F$は種数1曲線4本の積であり、$\Omega_F^1$は自明である。また$g^*D=2E$となり、写像は$f:Y\to\mathcal X$へ持ち上がる。各因子の一般点上に十分なsubmersion点を確保することが、次の移行に必要になる。

Proposition 4.1 · p. 6

Proposition 3.1で、$Y$上に$\kappa(L)=p$の微分形式の直線束があれば、それを$\mathcal X$へ降ろせることを示す。したがって$\mathcal X$の特殊性から$Y$の特殊性を得る。別の位相的議論により、偶数の分岐重複度と一般ファイバーの連結性から$\pi_1(Y)\twoheadrightarrow G$を得る。

Proposition 3.1 · pp. 5–6

基本群全体への適用と商への移行

$Y$は滑らかな射影多様体なのでコンパクトKählerである。Assumption 1.2を次元8の$Y$に適用し、$\pi_1(Y)$の有限指数可換部分群$A$を得る。その像は$G$の可換部分群で、指数は$[\pi_1(Y):A]$以下である。これで主定理の全結論に到達する。根空間が有限の多様体被覆を持つことは、この議論の仮定ではない。

[OpenAI26a, Theorem 1.1, p. 2] Proof of Theorem 1.3 · p. 9

切断の比を基底へ降ろす

$L\to\Omega_Y^p$が非零で$\kappa(L)=p$と仮定し、ある$L^m$の切断$s_0,\ldots,s_p$で比$u_a=s_a/s_0$が代数的に独立となるものを取る。Lemma 2.1は、これらの比の微分の外積が$L$の一般点での方向を張ることを与える。その入力は、切断の$m$乗根を同時に取った被覆の解消上で、正則微分形式が閉じていることにある。

Lemma 2.1 · p. 3 [Dem12, VI, Proposition 8.9, p. 312]

一般ファイバーへの余接列は$0\to\mathcal O_F^{\dim X}\to\Omega_Y^1|_F\to\Omega_F^1\to0$で、外積の誘導するfiltrationの随伴次数は自明である。$L|_F$から最初に非零となる次数への写像の成分を取ると、$L^{-1}|_F$の切断$t$が得られる。$t^m s_0$が非零定数になる一般ファイバーでは、全ての$s_a/s_0$が定数となる。連結な一般ファイバーに沿う有理関数の降下を使い、$u_a=g^*v_a$と書く。したがって$\sigma=dv_1\wedge\cdots\wedge dv_p\ne0$で、$p\le\dim X$である。

Lemma 2.4 · p. 4

根チャートのsubmersion点で極を検出する

$\pi:\mathcal X\to X$として、$\tau=\pi^*\sigma$の方向を$\Omega^p_{\mathcal X}$内で飽和して直線束$K$を取る。原稿のLemma 2.2は、これを大域的な部分束と仮定せず、余次元1の原始生成元とHartogs延長で扱う。

Lemma 2.2 · pp. 3–4

$s_a$の像をまず$h_a(g^*\sigma)^m$と書く。$\sigma$が正則かつ非零で$g$がsubmersionとなる開集合では$h_a$は正則であり、コンパクトな連結ファイバー上で定数となる。Lemma 2.4で$h_a=g^*b_a$と降ろせるので、像は$g^*b_a(g^*\sigma)^m$である。条件3と4のsubmersion点には局所切断があるため、$\mathcal X$上に因子的な極があれば$Y$へ引き戻したテンソルにも極が現れる。したがって$(\pi^*b_a)\tau^m$は各根チャートで正則となり、余次元2を越えて延長する。比$v_a$の独立性から$\kappa(K)\ge p$を得る。一方、$f^*K\to\Omega_Y^p$とLemma 2.1から$\kappa(K)\le\kappa(f^*K)\le p$である。こうして$\mathcal X$上に禁止された$\kappa(K)=p$の直線束が生じ、矛盾する。

Proposition 3.1 · pp. 5–6

群の全射はmeridianの偶数乗で得る

$Y\setminus g^{-1}D\to X\setminus D$で、$g^*D$の重複度$2e$を持つ成分のmeridianは$\gamma^{2e}$へ写るため$G$では消える。補集合から$Y$への基本群の写像は全射で、核は因子のmeridianで正規生成される。このため$\pi_1(Y)\to G$へ因子化する。$g^{-1}B\to B$は連結コンパクトファイバーを持つ滑らかな固有写像なので局所自明であり、基本群上で全射である。さらに一般位置によって$\pi_1(B)\to\pi_1(X\setminus D)$も全射となり、所要の全射を得る。

[Ehr52, §1, Proposition, 誌面 p. 154 / PDF p. 3] Proposition 3.1 · pp. 5–6

根空間上の対角二次式と固定点の回避

$T=\mathcal O_{\mathcal X}(\mathcal D)$、$T^2=\pi^*\mathcal O_X(D)$とする。$M$と$M(-D)$が大域生成されるよう$M$を選び、$\mathbb P_{\mathcal X}(\mathcal O^{\oplus2}\oplus T^{\oplus2})$の4重積上で、各因子$j=1,\ldots,4$に二つの対角二次式

を課す。$i=1,2$の係数は$H^0(X,M)$、$i=3,4$の係数は$H^0(X,M(-D))$から取る。後者は$T^2$とのテンソル積で評価されるため、$D$上で係数が自動的に消えるという解釈ではない。

普遍族では八つの方程式の係数評価が独立なので、一般パラメータで滑らかさを得る。$D$上の$\mu_2$固定部分では各因子が二つの固有空間のいずれかの$\mathbb P^1$に入り、その二次式対が共通零点を持つには対応する$2\times2$行列式の消滅が必要となる。4因子から独立な4条件が生じる。$\dim D=3$なので、一般パラメータは全ての固定点を避ける。これが4因子を用いる次元上の理由である。

Lemma 4.2 · pp. 7–8

座標の平方から射影性を得る

自由な根チャートを貼り合わせた滑らかな解析空間$S$から、座標を平方して通常の射影束の4重積

への有限解析写像を得る。GAGAで有限coherent代数とその乗法・単位を代数化し、相対Specを取る。有限射が射影的で$Q$も射影的だから$S$は射影的となる。

Lemma 4.3 · p. 8 [Ser56, §12, Théorèmes 2–3, 誌面 pp. 19–20 / PDF pp. 20–21] [StacksM, Lemma 45.16 (Tag 0B3I), p. 108]

連結性と因子上のsubmersion点を同時に確保する

一般パラメータで、各$2\times4$係数行列の全ての二列小行列式が非零となる開集合$B\ne\varnothing$を取れる。ここでは二つの二次式の交叉は滑らかである。Koszul列と$\mathbb P^3$上の中間コホモロジーの消滅から$H^0(C,\mathcal O_C)=\mathbb C$、随伴公式から$K_C\simeq\mathcal O_C$を得るので、各曲線は連結種数1である。

[StacksC, Lemma 8.1 (Tag 01XT), pp. 16–17] Lemma 4.4 · p. 9

また、各行列から任意の一列を除いた$2\times3$行列のrankが落ちる条件は余次元2である。その不良集合$Z\subset X$も余次元2以上にできる。$x\notin Z$では核に全座標が非零のベクトルが存在し、その平方根を取った点で各二次式対の垂直微分はrank 2を持つ。したがって根チャートへのsubmersion点があり、$D$を含む全素因子の一般点で必要な条件を満たす。

一般ファイバーの連結性により、$S$には$X$を支配する成分$Y$が一つだけある。上のsubmersion点はこの成分に属する。$g^*D=2f^*\mathcal D$と次元$\dim Y=4+4=8$を合わせ、Proposition 3.1の全条件が揃う。

Lemma 4.2 · pp. 7–8 Lemma 4.4 · p. 9