Bounded anticanonical metrics on klt pairs and torus quotients

1. Euler仮定を無限個の捻り形式へ移す

$\chi(\widetilde W,K_{\widetilde W}+t\rho^*(r_0P))$は$t$の多項式で、$t=0$で非零である。したがって無限個の正整数で非零コホモロジーを持ち、部分列で次数を固定できる。有界計量の正の冪は乗数イデアルが自明なので、hard Lefschetzはある$p$について$\Omega^p_{\widetilde W}\otimes n_i\rho^*P$の非零切断を与える。$p=0$なら終了する。$p>0$ならこれらの一般点でのspanの行列式を飽和し、$N_i\sim_{\mathbb Q}M+m_iP$、$m_i\to\infty$、$N_i\ge0$を得る。正の捻り指数の和が非有界であることが重要で、$P$の数値的非自明性を追加しない。cotangent tensor部分層の定理にklt・有効境界・nef性を適用し、$-M$の擬有効性を得る。

Lemma 2.1 · pp. 5–6 [DPS01, Theorem 2.1.1, p. 8] [LMPTX23, Theorem 4.1, 誌面 p. 1409 / PDF p. 17]

2. 新しいpencilを排除し、縦成分の最小比を引く

$\pi:S\to W$と連結ファイバーを持つ$f:S\to Y$のうち、ある$d>0$とample $A$に対し$d\pi^*P-f^*A$が擬有効となるものから$\dim Y$最大を選ぶ。$P$と例外因子で支配され、一般ファイバー上で非定数となるpencilがあれば底を大きくできるため、そのようなpencilはない。正規等次元モデル上でこの性質を$N_i$の比に適用すると、水平部分は$m_i$のアフィン関数になる。差を取り、各底素因子上の係数／多重度の最小値を引いて $$r\pi^*P=f^*V+H,\qquad H\ge0$$ を得る。各底素因子の上に$H$に含まれない成分が少なくとも一つある。この条件は後の有界性を支え、単なる有効分解より強い。$Y$が点なら既に切断が得られる。

Lemmas 2.2–2.3 · pp. 7–8

3. rank one積分を本質的上限にして有界計量を作る

$R=K_S-\pi^*(K_W+D)$、$E=\lceil R\rceil$、$\Xi=E-R$と置く。$E$は有効例外因子、$\Xi$は係数が$[0,1)$のSNC因子で、$K_S+\pi^*P+\Xi=E$である。極大性は全$a\ge0$について$f_*\mathcal O_S(E+ar\pi^*P)$のrankを1にする。$B_a=(ar+1)\pi^*P+\Xi$は整数線束で、自明な乗数イデアルを持つ。

随伴直像の半正性を適用し、局所生成切断$s=f^*v\,s_H$について $$u_a(y)=-\frac1a\log\int_{S_y}|s|^{2a}_{h_P^r}\,d\mu_y\ \longrightarrow\ -\log\mathop{\rm ess\,sup}_{S_y}|s|^2_{h_P^r}$$ を得る。原稿は指数ごとのbase-change開集合の共通部分をZariski開とはせず、共通の全測度集合とpsh関数の局所$L^1$コンパクト性を使う。$H$を欠く成分の近傍で$s$が非零であるため、欠落した底因子に近づいても本質的上限が下から正に抑えられる。propernessによる逆側の評価とpsh延長により、$V$上の局所有界半正計量を得る。連続性への置換は行わない。

Lemma 2.4; Proposition 2.5 · pp. 9–11 [PT14, Theorems 3.3.4–3.3.5, p. 24]

4. 零捻りで非零を確保し、切断を押し戻す

$d\pi^*P-f^*A$の正カレント計量を少量混ぜ、$\pi^*P+\Xi$に底方向の厳密な正曲率と自明な乗数イデアルを同時に与える。klt係数の余裕、Skodaの小指数可積分性、Hölderを使う。これに$a f^*V+aH$の計量を加えると、全$a\ge0$で乗数イデアルは正確に$\mathcal O_S(-aH)$となる。したがって随伴束は$E+a f^*V$に簡約され、Kollár–Nadel消滅により $$H^i(Y,\mathcal G\otimes\mathcal O_Y(aV))=0\quad(i>0,\ a\ge0),\qquad\mathcal G=f_*\mathcal O_S(E).$$ $E\ge0$と$a=0$での消滅が$Q(0)=h^0(Y,\mathcal G)>0$を保証する。$Q(a)=\chi(Y,\mathcal G(aV))$は非零多項式なので、ある$a>0$で切断が存在する。$s_H^a$を掛け、$\pi_*\mathcal O_S(E)=\mathcal O_W$で押し戻すと$H^0(W,arP)\ne0$となる。最初のEuler仮定は非零で足り、正値を仮定していない。

Lemma 2.6; proof of Theorem 1.1 · pp. 11–12 [Fuj16, Theorem 1.3, p. 2]

1. 補助GIT線形化と自然反標準束を分ける

作用の有効像へ移り、滑らかな計量を極大コンパクト部分群で平均する。自然反標準重みの一般点での正値性と有限個の重みパターンを使い、$L+\delta J$の小さな指標移動に対する非空のstable=semistable locus $U$を選ぶ。$W=U/T$は射影的で、有限stabilizer sliceから$\mathbb Q$-factorial klt対と境界$D=\sum(1-1/e_B)B$を得る。トーラスの随伴表現が自明なので軌道接方向の行列式に指標は現れず、$L|_U=q^*P$は自然な同変$\mathbb Q$線束の同型となる。補助指標を$L$へ移してはいけない。

Propositions 3.2–3.3 · pp. 13–14 Remark 3.6 · p. 18

2. 軌道上限の有界性を先に証明する

$U$上の弱重み不等式を、代数弧に沿う移動持上げの位数へ変換する。位数の凸性と原点近傍の重み計算から極がないと分かる。作用グラフのコンパクト化と曲線選択により、この弧ごとの結論を局所一様ノルム上界へ強める。そこで初めて、軌道上のノルムの上限で商計量を定義できる。負の対数は指数写像上で虚方向に依らないpsh関数の下限であり、Kiselman原理でpshとなる。slice上の上下界、有限商での円板判定、解消への引戻しにより局所有界性を保つ。曲線への制限は$P$のnef性も与える。

Lemma 3.4 · pp. 15–16 Proposition 3.5 · pp. 16–17 [DWZZ19, Theorem 1.1, p. 1]

3. Euler仮定と延長で不変非消滅を得る

$Z$の有理連結性から商の滑らかな解消にも$\chi(\mathcal O)=1$が従う。Theorem 1.1で$mP$の非零切断を得て、同変同型の分母を消す冪を取る。射影的な$W$上の切断は有界な商計量で大域有界だから、軌道上限の定義により引戻しも$U$全体で有界である。上階の滑らかな計量に対する係数の除去可能性で、$Z\setminus U$の因子を含む全域へ延長する。不変性は稠密開集合上の一致から保たれる。自明作用・点の商も原稿で別途処理される。

§3.5; proof of Theorem 1.2 · pp. 17–18

1. 不変な標準枠と切断をテンソルする

同伴原稿の構造定理は、有限étale被覆$X'\to X$の普遍被覆を$\mathbb C^q\times B\times Z$とし、前二因子の不変標準枠と、$Z$上の代数的トーラスに含まれる残留monodromyを保持する。Theorem 1.2の切断を前二因子の反標準枠とテンソルすればdeck不変となり、$X'$上へ降りる。有限被覆自体が直積とは主張しない。

[OpenAI26a, Theorem 2.1, p. 5] Theorem 1.2 · p. 2

2. 正の指数を被覆次数倍にして戻す

$d=\deg(X'/X)$とすると有限étale normは非零切断を$H^0(X,-mdK_X)$へ送る。したがって元の$X$である正の指数の非消滅が得られる。同伴原稿から入力するのは独立な構造定理とnorm補題であり、その非消滅主定理を再び仮定する循環ではない。

[OpenAI26a, Lemma 2.2, p. 8] Corollary 4.1 · p. 18