Anticanonical nonvanishing from smooth semipositivity

1. 被覆の分解はモノドロミーを消さない

構造定理により、適切な有限étale被覆$S\to X$の普遍被覆は$\mathbf C^a\times F\times Z$となる。$F$はRicci平坦で標準束に平行な非消滅枠があり、$Z$は正次数の正則形式を持たず$-K_Z$が滑らかに半正値である。原稿はdeck群を有限指数で取り直し、$F$への作用を消して$Z$への像の閉包を連結compact torus $T$にする。$S$自体が直積になるとは主張しない。

Theorem 2.1 · pp. 5–8 [DPS96, Structure Theorem, p. 1] [CDP, Theorem 1.4, p. 3]

2. 有限体積定理から自然不変切断へ

無正次数形式の因子で$D=0,J=L=-K_Z$とすると有限体積と有界計量の条件は満たされる。しかし普通の切断ではdeck作用に対する降下が保証されない。Theorem 7.2ではトーラスの有理商を取り、不変随伴直像のrank oneを使って底へ二つの計量を移す。その底にTheorem 1.2を適用し、不変切断として持ち上げる。

Theorem 1.2 · p. 3 Theorem 7.2 · pp. 24–25

3. 自然作用に対する不変性を使って降下する

得られた$s_Z\in H^0(Z,-mK_Z)^T\setminus\{0\}$と、$\mathbf C^a,F$の不変標準枠の逆冪との積はdeck不変である。したがって$S$上の$-mK_S$の切断に降下し、次数$e=\deg(S/X)$のnormが$H^0(X,-meK_X)\ne0$を与える。$Z$が点なら$m=1,s_Z=1$とする。必要なのはある正の指数であり、被覆次数や指数の一様評価ではない。

Lemma 2.2; §7.3 · pp. 8, 25–26

1. 有限体積からsupporting movable class上の非負接束へ

$L+D$は擬有効だがbigではないため、錐双対性から非零movable class $\alpha$で$L\cdot\alpha=D\cdot\alpha=0$となるものを選べる。有限体積はLemma 4.1の相対Bergman計量に使う。多重ファイバーの局所式$s_1=z_1^e$で、相対形式の係数は$z_1^{-(e-1)}$を含む。Bergman重みから$(e-1)\log|z_1|^2$を引いても上に局所有界となる評価により、飽和conormalの行列式に計量が延長する。正のHN部分を葉層とし、その代数的可積分性を用いると$\mu_{\min,\alpha}(T_Z)\ge-D\cdot\alpha=0$を得る。

Lemma 4.1; Theorem 4.2; Corollary 4.3 · pp. 11–15 [BP08, Theorem 0.1, p. 2] [CP19, Theorem 1.1, p. 2] [GKP, Corollary 2.27; Theorem 4.2, pp. 8, 12] [BDPP, Theorems 2.2, 2.4, p. 6]

2. 一つの行列式と、全ての切断比を支配する底

無正次数形式より$\chi(\mathcal O_Z)=1$。Riemann–Rochの多項式$\chi(K_Z+mL)$は定数項が$(-1)^d$であり、大きな$m$で消えない。有界重みは$\mathcal I(h_L^m)=\mathcal O_Z$を保証し、Hard Lefschetzは固定した$\Omega_Z^p$への写像$-mL\to\Omega_Z^p$を無限個与える。generic spanのtailを安定化して行列式$M$を固定し、$M\cdot\alpha\le0$かつ$s_i\in H^0(Z,M+m_iL)$、$m_i\to\infty$を得る。

全系$|uL+vM+wD|$（$u,v,w\ge0$）は$\alpha$との交点が非正なのでgenerically finiteにはならない。像次元最大の系を選び、像の函数体の$\mathbf C(Z)$内の相対代数閉包から$\dim S<\dim Z$の底を作る。積の切断を使う最大性は、これら全系の切断比を$\mathbf C(S)$に入れる。$\rho=s_2/s_1$の水平因子の次数は、$s_i$を使った補間式(6.5)と$m_i\to\infty$から非負になる。同じ切断比の性質と共通分母の除去が、$j=0$を含む全$j\ge0$の随伴rank oneを与える。

Lemma 6.1 · pp. 19–20 [DPS01, Theorem 2.1.1, p. 8] Lemma 6.2 · pp. 20–22

3. 二つの計量を移し、許された極だけを戻す

Proposition 5.1は底に有界半正値線束$A$と、有限随伴体積を持つ$-K_S+D_S$を作る。正則形式の引戻しは単射なので$S$も無正次数形式である。次元帰納法から$aA+bD_S$の切断を得て持ち上げると、$akL+cD$の非零切断となり仮定に反する。底が点なら、水平極のない$\rho$だけで既に非消滅する。次元零の初期段階は$a=1,b=0$である。

Proposition 5.1 · pp. 15–19 §6.3 · pp. 22–23

1. 等次元normal modelで縦の次数を正規化する

$c_T=\min_{\bar f(Q)=T}\operatorname{ord}_Q(\rho)/\operatorname{ord}_Q(\bar f^*T)$の分母を払って$A=\mathcal O_S(\sum c_TT)$と置く。底の標準有理切断で$\rho$を割った$e$は全素因子で非負の次数を持ち、normalityにより正則になる。各$T$の上で少なくとも一成分には$e$が消えない。等次元性はnormal modelにのみ課し、積分用のsmooth resolutionには課さない。

Proposition 5.1 · pp. 15–19

2. 零次積分は体積を、高次積分は有界性を運ぶ

Jacobianを含む$\eta_Y=\pi^*s_D$を用い、局所枠$ds,v$について $$V_j(s)=\int_{Y_s}|(\eta_Y/f^*ds)e_v^j|^2_{\pi^*(h_Jh_L^{jk})},\qquad\Phi_j=-\log V_j$$ とする。rank oneによりBergman計量から$\Phi_j$のpsh性が得られる。$j=0$では、境界補正$D_S$を加えた計量の随伴測度が$f_*|\eta_Y|^2$となり有限体積を保つ。一方 $$\Psi=\lim_{\ell\to\infty}\left(\sup_{j\ge\ell}\frac{\Phi_j}{j}\right)^*$$ は$A$の重みになる。$h_L$の有界性から$V_j\le C^jV_0$で下界を得る。$e$が消えない成分での評価$V_j\ge C_1C_2^j|s_1|^{2b_T}$は$b_T$を$j$と独立にし、$j$で割った極限で境界項を消す。これが上下両側の有界性を得る接続である。

§5, (5.3)–(5.10) · pp. 16–19 [BP08, Theorem 0.1, p. 2]

3. 補正因子の支えが持上げを可能にする

底の切断を引き戻して$e^a$を掛けた有理切断の極はbad primes上だけにある。それらは$X$上では例外的または$D$上である。例外的極はnormalityによる押下げで消え、残りを$s_D^c$で払う。従って許可した境界以外に新しい極を作らない。

Proposition 5.1 · pp. 15–19

1. 有理商で不変部分だけのrank oneを得る

$H^1(\mathcal O_Z)=0$を使って$T$の作用を代数トーラス$G$へ延長し、自然線形化で$T$-不変と$G$-不変を一致させる。Rosenlicht商の一般ファイバーには稠密な軌道がある。可換性により不変な基本ベクトル場の外積と底の反標準枠から、水平極のない不変な$\rho$を得る。不変随伴切断の比は$\mathbf C(Z)^G=\mathbf C(S)$に属すため、その不変部分は全$j\ge0$で一次元となる。全随伴空間が一次元である必要はない。

Theorem 7.2 · pp. 24–25

2. smooth direct imageの直交商として正値性を得る

平均した$h_J,h_L$は滑らか・半正値・$T$不変である。smooth locus上の随伴直像はBerndtssonの定理により$L^2$半正値となる。compact averagingは不変部分への正則直交射影なので、その一次元部分の計量は商計量として半正値である。一般の部分束に正値性が移るとする議論ではない。ここでsmooth係数の定理を用いる点が、特異係数を許す普通のProposition 5.1との違いである。

Proposition 7.1 · pp. 23–24 [Ber09, Theorem 1.2, p. 3]

3. 通常の定理を底に適用して不変に持ち上げる

Proposition 5.1と同じ境界評価を使うProposition 7.1により底の二計量を作る。無正次数形式は底へ移り、Theorem 1.2が$aA+bD_S$の切断を与える。底への作用は自明で$e$は不変だから持上げも不変である。$D=0$なので許可される極は例外因子上だけで、押下げ後には正則となる。一般軌道次元零なら作用が自明でTheorem 1.2を直接使い、$Z$が点の場合も含めて結論を得る。

Proposition 7.1 · pp. 23–24 Theorem 7.2 · pp. 24–25