Baum–Connes予想とKadison–Kaplansky予想の反例

単射性の記事では、torsion-free群 $G_{\mathrm{inj}}$ に対する

の核を扱う。埋め込まれたトーラスのDirac類 $h$ を二次コホモロジーで検出して無限位数を保ちつつ、そのBott像を被約群C*環で消す。ここで $K_0(BG)$ は有限部分複体上の直極限で定めるcompact support付きK-homologyである。原稿は同じ $h$ のmaximal assembly像は有理的に非零と説明しており、maximal版や古典的Novikov予想への反例とは区別する。[OpenAI26a, Theorem 1.1, p. 1] [OpenAI26a, Section 1.2, p. 2]

射影の記事は、まずtorsion-free群 $\Gamma_{\mathrm{proj}}$ の行列環内に小さな正トレースの射影を作り、自由積 $G_{\mathrm{proj}}=\Gamma_{\mathrm{proj}}*F_N$ 内でscalar射影へ圧縮する。結論は $p\in C_r^*(G_{\mathrm{proj}})$、$0<\tau(p)<1/2$ であり、行列環内の射影の存在だけで終わらない。[OpenAI26b, Theorem 1.1, p. 2]

無理数トレースの記事は、torsion-freeを仮定しない有限生成群 $G_{\mathrm{sur}}$ に対する

の像を扱う。定義域はproper actionの分類空間上のequivariant K-homology（$G$-compact support付き）である。符号の局所分布と全体のspectral gapから実際の射影 $b_0\in C_r^*(G_{\mathrm{sur}})$ を得て、その無理数トレースをassembly像の有理数トレースと比較する。原稿は有理化後の非全射性も導く。[OpenAI26c, Theorems 1.1–1.2, p. 2] [OpenAI26c, Proposition 6.1 and proof of Theorem 1.1, pp. 21–22]

射影原稿の§11は、torsion-free群 $\Gamma_{\mathrm{proj}}$ のassembly像のトレースが整数になることを使い、行列射影からtrivial-coefficient reduced assemblyの非全射性も記す。これは別原稿の無理数トレース構成への依存ではない。また、非整数という情報だけでは、有理化後の像から外れることまでは従わない。無理数トレース原稿は、一般の可算群について像のトレースが有理数になることを使うため、群の仮定も障害の強さも異なる。[OpenAI26b, Section 11, p. 73] [OpenAI26c, Proposition 6.1 and proof of Theorem 1.1, pp. 21–22]

構成手法には、射影原稿から単射性原稿への明示的な参照がある。単射性原稿の§2（p.7）は、射影原稿の§§4,6のpadded-stream構成とrecovery schemeを適応し、現在のinterfaceに必要な指数・cutoff・gated correctionは再び確立すると述べる。また§7.4（p.64）は、射影原稿§7.6のcone-chainとprime-order obstructionの手法に従い、現在のsheetに対するexact-chainの接続を再証明する。射影主定理を存在定理として使う関係ではなく、整数係数の検出類の延長とBott realizationは単射性原稿の別の議論である。[OpenAI26a, Section 2, p. 7] [OpenAI26a, Section 7.4, p. 64] [OpenAI26b, Section 7.6, pp. 36–38]

この有向関係は方法の適応・再証明として記録し、主定理の直接適用とは区別する。expanderやgraphicalな構成の一般的な共通性だけから、他の依存矢印は加えない。外部入力とその使用箇所、各帰着の証明図は個別記事にまとめた。